Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
172 гл. v. аксиоматическое построение
P3 Каждая прямая содержит по меньшей мере три точки.
P4 Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
Естественно, можно привести и другие, равносильные, формулировки этих аксиом. В частности, можно заменить аксиому P4 на
P^ Какова бы ни была прямая А, множество П\А не пусто. Из этих аксиом вытекает
Предложение 1.1. Плоскость проективного типа содержит не меньше семи точек и семи прямых.
Доказательство. Пусть А — прямая на П и Л, Ву С — три точки A, a D — точка П\А. Существует точ-
Рис. 1
ка E прямой {AD) у отличная от А и D9 и точка F прямой (BD) у отличная от В и D (см. рис. 1). Тогда прямые (AF) и (BE) пересекаются в новой точке Gr что и дает нам семь различных точек. С другой стороны, шесть прямых уже начерчены, и существует по меньшей мере еще одна, седьмая, соединяющая E и F.
Замечание. Для того чтобы плоскость П содержала лишь семь точек и семь прямых, требуется, чтобы точки Cy Ey F были коллинеарны, равно как и точки Cy D1 G. Мы вновь получаем конфигурацию ФанОу с которой уже встречались в § IV. 7.
Плоскости аффинного типа
> Определение 1.2. Плоскостью аффинного типа называется пара (SP1S)9 состоящая из:
1. основные аксиомы плоской геометрии 173
a) множества 9, называемого плоскостью, элементы которого называются точками;
b) непустого множества S подмножеств 9, называемых прямыми и удовлетворяющих следующим аксиомам:
Ai Через две различные точки 9 проходит одна и
только одна прямая. A2 Любая прямая содержит не менее двух точек. A3 Существуют три точки, не лежащие на одной
прямой.
A4 (Сильная аксиома Евклида.) Каковы бы ни были прямая 2) и точка 4є существует един-
ственная прямая, проходящая через Л и не пересекающая 2D.
Немедленно получаем
Предложение 1.2. Если (11,27)—плоскость проективного типа и А — любая прямая в П, то можно получить структуру аффинного типа на П\А, назвав «прямыми» пересечения прямых из П с П\А.
Действительно, две «прямые» из П\А, не имеющие точки пересечения, происходят из двух прямых в П, проходящих через одну и ту же точку А.
Мы увидим, что и, обратно, всякая плоскость аффинного типа может быть канонически дополнена до плоскости проективного типа. Прежде всего имеет место
Предложение 1.3. Если (9, S) — плоскость аффинного типа, то отношение параллелизма на 2, определенное с помощью 2) Il 2)'<=^(2)=2)' или 2)()2)'= 0), есть отношение эквивалентности.
Доказательство. Симметрия и рефлексивность введенного отношения очевидны; транзитивность вытекает из условия единственности в аксиоме A4.
Класс эквивалентности, содержащий прямую 2), будет называться направлением прямой 2).
Предложение 1.4. Пусть & — плоскость аффинного типа, а <р<х> — множество направлений ее прямых. На 59U^QO получим структуру плоскости проективного
174
гл. v. аксиоматическое построение
типа, назвав прямыми множество ^00 и каждое множество, получаемое объединением любой прямой из и ее направления.
Доказательство. Проверка аксиом (P/) не вызывает затруднений: например, существование единственной прямой в 9[JtP00, соединяющей точку Л на 9 с точкой В на 9оо, вытекает из существования единственной прямой в 9 с заданным направлением, проходящей через данную точку (аксиома A4). С другой стороны, аксиома A3 влечет существование трех не-коллинеарных точек A1 B1 C1 откуда вытекает и существование трех различных направлений прямых, определяемых прямыми {AB)1 (BC)1 (CA). Следовательно, 9ос содержит не менее трех элементов.
Определение 1.3. Изоморфизмом плоскости аффинного (соотв. проективного) типа называется биекция на плоскость (того же типа), переводящая прямые в прямые.
Предложение 1.5. Плоскость аффинного типа содержит не менее четырех точек и шести прямых. Она содержит только четыре точки лишь в случае, когда она изоморфна аффинной плоскости Z2 X Z2.
Доказательство. Пусть A1 B1 С — три неколлинеар-ные точки; прямая, параллельная (ВС) и проходящая через A1 и прямая, параллельная (AB) и проходящая через C1 пересекутся в четвертой точке D (см. рис. 2); шесть прямых (AB)1 (AC)1 (AD)1 (BC)1 (BD)1 (CD) все различны.
С другой стороны, 9 не может сводиться лишь к четырем точкам A1 B1 C1 D1 иначе как в случае параллельности диагоналей параллелограмма (ABCD).
JD
С
Рис. 2
2. ДИЛАТАЦИИ ПЛОСКОСТИ АФФИННОГО ТИПА 175
В этом случае биекция /: 9 ->Z2 X Z2,
/(Л) = (0,0), f(fi) = (l,0), /(C) = (I, 1), /(D) = (O, 1)
есть изоморфизм. ?
Следствие. Плоскость проективного типа, содержащая ровно семь точек, изоморфна P2 (Z2).
Двойственность в плоскости проективного типа
Предложение 1.6. Пусть П — плоскость проективного типа. Аксиомы Pi—P4 остаются верными, если поменять местами слова «точка» и «прямая» и заменить отношение инцидентности «прямая А проходит через точку Л» двойственным к нему: «точка А принадлежит прямой Л».
Доказательство. Аксиомы Рь P2 просто поменяются местами. Аксиома P4 превратится в следующую:
Р" Какова бы ни была точка ЛєП, существует прямая, не проходящая через Л.