Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
С каждым проективным пространством P (E) конечной размерности свяжем множество P (E) его проективных подпространств (включая пустое множество и само P(E)). Немедленно убеждаемся, что каждая полупроективная биекция /: P (E)-+P (F) продолжается в биекцию f: P (E) -> P (E)9 для которой выполнено условие
(VX, YeP(E)) X czY=>J (X) <=!(?). (1)
Обратно, имеет место
Предложение 12.7. Пусть P(E)9 P(F) — два проективных пространства одинаковой конечной размерности п9 и пусть f: P (E) -> P (F) — биекция, удовлетворяющая условию (1). Тогда f является продолжением на P(E) некоторой коллинеации /: P(E)-+* -+P(F).
Доказательство, а) Покажем сначала, что f сохраняет размерность. Для этого рассмотрим произвольное проективное подпространство X размерности k пространства P(E). Обобщением процедуры, примененной при доказательстве предложения 12.3, можно построить конечную строго возрастающую последовательность (L-\9 Lo9 Lu Ln) проективных подпространств из P(E)9 такую, что L_i = 0, Ln = P (E) у Lk = X и dim(L/) = / для всех /1). Из того что J биективно и удовлетворяет условию (1), вытекает* что последовательность (Lf = f (Lj)) строго возрастает
1J Напомним, что пустое подмножество в P (E) рассматривается как проективное подпространство размерности —1, тогда как точки P (E) суть проективные подпространства размерности 0.
12. основная теорема проективной геометрии 169
{—j^n). Следовательно, имеют место неравенства
— 1 < dim (Ll1) < dim (LJ) < dim (LJ) < ...
... < dim (L^) < я,
которые влекут dim (LJ) = j для всех j и, в частности,
dim (J {X))= dim (Li) = k.
b) По предыдущему, образ точки M из P (?) есть проективное подпространство нулевой размерности в P[F)9 т. е. сводится к точке, которую мы обозначим f(M). С другой стороны, если А — прямая в P(E)9 то J(A) есть прямая в P[F) и условие (1) влечет включение /(A)df(А). Тогда / — коллинеация, и по теореме 12.6 / полупроективна.
Наконец, если X — проективное подпространство размерности k в пространстве P[E)9 то f(X) есть проективное подпространство размерности к в P (F) (так как полупроективная биекция сохраняет размерности подпространств). Далее, соотношение (1) влечет f (X) czf (X) (так как образы точек из X при отображении / суть подпространства в P(F)9 содержащиеся в J(X)), и поскольку f (X) есть проективное подпространство в P(F) той же размерности, что и J(X)9 то f(X) = f(X). Итак, f действительно есть продолжение f на P(E). О
В случае пространств одинаковой конечной размерности можно, следовательно, определить коллинеа-ции как биекции P(E) на P (F)9 удовлетворяющие условию (1).
По аналогии введем
> Определение 12.2. Пусть P(E)9 P(F) — два проективных пространства одинаковой конечной размерности п. Корреляцией P(E) на P(F) называется биекция qp: P(E)~>Р(F)9 удовлетворяющая условию:
(VZ, Yt=P (E)) X <= Y ф (X) ZD ф (Y). (2)
170 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пример. Если Е* — пространство, сопряженное с Е> то отношение ортогональности определяет корреляцию OE: Xv-^X0 пространства P(E) на P(E*) (см. § II. 6).
Если ф: P (E) -> P(E) — произвольная корреляция, то непосредственно видно, что ф о бі1 — коллинеация P(E*) на P(F). Поэтому можно сформулировать
Предложение 12.8. Любая корреляция P (E) на P(F) имеет вид ф = /об?, где /—-некоторая коллинеация P(E*) на P(F)y а OE — корреляция P(E) на P(E*), определенная отношением ортогональности.
По поводу построения корреляций с помощью по-луторалинейных форм см. [FR], гл. V.
Глава V
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ АФФИННОЙ И ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИЙ
1. ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ ПЛОСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Целью этой главы является обоснование аффинной и проективной геометрий при помощи простых аксиом, не использующих иных свойств, кроме принадлежности точек прямым и пересечения прямых, проверяемых (в некотором смысле) с помощью одного простого правила. Мы ограничимся по существу геометрией плоскости, которая только и приводит к HO-ным структурам; «аффинная» и «проективная» точки зрения будут тесно перемешаны. Случай пространственной геометрии рассматривается в § 11 и 12.
Уточним прежде всего рамки нашего исследования, введя понятия «плоскости проективного типа» и «плоскости аффинного типа»1).
Плоскости проективного типа
> Определение 1.1. Плоскость проективного типа есть пара, состоящая из
a) некоторого множества П, называемого плоскостью, элементы которого называются точками-,
b) непустого множества j? подмножеств П, называемых прямыми и удовлетворяющих следующим аксиомам:
Pi Через две любые различные точки П проходит
одна и только одна прямая. P2 Две различные прямые имеют общую точку
(единственную по аксиоме Pi).
l) В курсах, построенных аксиоматически, говорят просто о «проективной плоскости» и «аффинной плоскости»; мы предпочли избежать двусмысленности, сохранив последние термины для двумерных проективных (соотв. аффинных) пространств над некоторым телом; они являются частными случаями плоскостей проективного [соотв. аффинного] типа.
