Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Обратно, если К коммутативно, то любая пара (2Dy 2D') прямых в SP (пересекающихся или параллельных) удовлетворяет этому условию.
Доказательство, а) Предположим, что существуют прямые 2Dy 2D'у пересекающиеся в точке О и удовлетворяющие высказанному требованию. Выберем точки С єе 2D у В' е2)'.
С любой парой (Xy у) элементов К* свяжем точки A1 В на 2D и точки Л', С на 2D'у определив их уело* виями
OA == хОСу OB = уОА = ухОСу ~ОА' =--- уОВ'у ОС' = хОА' = хуОВ'.
Тогда AC = хСА'у BA' = уAB' и, следовательно, (AB')\\(ВА'), (АС)И(CA') (см. рис. 12); отсюда вытекает, что (ВС) И (CB'), и поскольку ОВ = ухОС и
ОС = хуОВ', то параллельность (ВС) и (CB') влечет ху = ух.
Тем самым тело К коммутативно (т. е. является полем).
Ь) Предположим теперь, что К коммутативно, и пусть (Ay B1 С), (A', В', С') — две тройки коллинеар-ных точек, для которых (АВ')\\(А'В) и (Л С) \\ (А'С).
Если прямые 2Dy 2D', на которых лежат эти трой-
6 Ж. Лелон Ферран
162
гл. iv. элементы проективной геометрии
ки, пересекаются в точке O9 то существуют два скаляра X9 у, такие, что
OA = XOC9 OC = XOX9 OB = yOA9 OA' = yOB'9
откуда находим, что ОС = хуОВг и OB = ухОС9 и потому в силу ху = ух имеем ВС = хуСВг и
Если прямые (A9 B9 С) и (A'9 В'9 С) параллельны, то утверждение (ВС) \\ (B'С) сохраняет силу и без предположения коммутативности К по следующей лемме:
Предложение 11.2. Пусть 2E) и 2)' — две различные аффинные параллельные прямые аффинной плоскости & над произвольным телом К и (A9 B9 С) е ^ iZ>3, (А'9 В'9 C')^ <?)'г — такие тройки точек, что
(AB') \\ (A'B)9 (AC)W (A'C)9 тогда и (BC)W (B'С).
Доказательство. По предположению четырехугольники (AB'А'В) и (ACА'С) — параллелограммы (рис. 13).
Следовательно, AB = В'А' и AC = CA9 откуда
BC = AC-AB = CA' - В'А' = CB' и BC = BT. ?
Применяя метод отправки в бесконечность, мы можем доказать такое утверждение1):
> Теорема 11.3. Пусть П — проективная плоскость над некоторым телом /С. Для коммутативности К не-
1) По поводу другого доказательства теоремы Паппа см. упр. III.11 и 111.16.
(ВС) \\(В'С).
Рис. 12
О
11. теорема паппа и коммутативность тела 163
обходимо и достаточно, чтобы существовали две различные прямые А, А7 в П, обладающие следующим свойством (рис. 14):
(P) Для каждой тройки точек (А, В, С) на А и (A', В', С) на А7 точки P = (BCOfI(CS'), Q = (CA') [] Ci(AC'), R = (AB') П (BA') коллинеарны.
Обратно, если К коммутативно, то любая пара (А, АО прямых в П обладает этим свойством.
Л' B' С'
Рис. 14
Доказательство, а) Предположим, что существует пара прямых (А, АО со свойством (P), и пусть А" — любая прямая в П, не содержащая точки O = AfIA'. Снабдим множество 9 = U \А" структурой аффинной плоскости, получаемой отправкой прямой А" в бесконечность; пусть ^) = А(]9, iZ>' = A'f| & — аффинные прямые в 9, полученные сужением прямых А, А'. Поскольку точка О не при-
6*
164 гл. iv. элементы проективной геометрии
надлежит !P00 = A", прямые 2), SD' пересекаются в О и мы можем применить к ним теорему 11.1: достаточно воспользоваться свойством (P) для троек (A9 B9 C)ga3 и (А'9 В', С) єе А/3, образованных различными точками и таких, что точки Q = (CA') (] (АС) и R== (AB') (] (BA') принадлежат бесконечно удаленной прямой А". Точки Q9 R различны, ибо таковы С и B9 а коллинеарность P = (BC)O(CB') с Q и R в П влечет P ^ А". Иначе говоря, в аффинной плоскости & условия (CA')W(AC) и (AB')W(BA') (где A9 B9 С принадлежат прямой SD9 а А', В', С — прямой Ф') влекут (BC)W(CB') и, значит, К коммутативно.
Ь) Предположим, что К коммутативно (т. е. К — поле). Пусть (A9 B9 С), (A', В', С) — две тройки различных точек, лежащие соответственно на прямых А, А' плоскости П. Исключим тривиальный случай, когда одна из этих точек совпадает с O = Af)A', и положим Q = (CMOfI(^C'), R = (AB') П (BA'). Легко видеть, что тогда прямая A" = (QR) не проходит ни через одну из точек A9 B9 C9 А'9 В'9 С. Отправляя эту прямую в бесконечность, мы придем к двум тройкам (A9 B9 C)9 (A', В', С) коллинеарных точек аффинной плоскости 9> = П\А", для которых (CA') || (АС) и (AB')\\(ВА'). Тогда и (BC)W(CB'), откуда следует, что точка P пересечения проективных прямых (ВС), (CB') плоскости П лежит на бесконечно удаленной прямой A" = (QR). ?
12. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Цель этого параграфа — дать геометрическую ха-рактеризацию полупроективных биекций. Установим сначала некоторые предварительные свойства.
> Предложение 12.1. Для того чтобы подмножество L проективного пространства P(E) было проективным подпространством в P(E), необходимо и достаточно, чтобы любая проективная прямая, соединяющая две различные точки А, В є L9 содержалась в L.
12. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 165
Доказательство. Необходимость условия очевидна. Обратно, предположим, что условие выполнено, и пусть а, Ь — два различных элемента в p~l(L). Тогда А=р(а), В = р(Ь) принадлежат L и для каждой пары (X, Ix)^K2, такой, что Xa + \xb ф 0, p(Xa + [xb) будет точкой прямой (AB)9 если А Ф B1 или точкой Л, если A = B. В обоих случаях p(Xa + \xb) принадлежит L и Xa + ab є p~l(L). Итак, /H(L)U(O} есть векторное подпространство в ?, a L есть проективное подпространство в P(E). ?
