Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. а) Необходимость. Положим U = P(E) и обозначим через р: П каноническую проекцию.
При A = A', B = B' или C = C результат очевиден, поэтому допустим, что А Ф А'у В Ф В', С ф С, и положим A = P(Ci)1 B=^p(b)t С = р(с).
Если прямые (AA'), (BB), (CC) имеют общую точку S = P(S)1 то найдутся такие скаляры X1 \х, v, что А' = р (s+ Xa)1 В' = р (s + ^b)1 С = p(s + vc). Далее проверяем, что точка p(\ib — vc) есть точка P пересечения прямых (ВС), (В'С'У, аналогично,
ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Q — р(vc — Xa) и R~p(Xa — \ib). Поскольку сумма векторов \ib — vc, vc — Xa и Xa -\ib в S равна нулю, іочки Р, Q, /? коллинеарны.
Ь) Достаточность. Можно было бы провести доказательство от противного, как это будет сделано в случае предложения V. 6.1, однако интереснее заметить, что утверждение Ъ) следует из а) по принципу двойственности.
Рис. 9
Действительно, пусть ?* —сопряженное с E и A19 JB1, C1, А[, В[, С[ — точки P(S*), соответствующие прямым (BC)1 (CA)1 (AB)1 (В'С')9 (CM7), (A'ff). Точкам P1 Q1 R соответствуют прямые a = (A1A[J9 P = (S1Sj), у = (С{С[у9 легко видеть, что эти прямые различны, если предположить, что А' ф А, ff ф B9 С ф С. Следовательно, если точки P1 Q1 R коллинеарны, то прямые а, ?, у проходят через одну точку. В силу справедливости утверждения а) в плоскости P(S*) точки P1 = (B1C1)O(B[C1), Q1 = (C1A1)O 0(С[А[) и R1 = (A1B1)O(A[B^ коллинеарны. Но эти точки соответствуют прямым (AA'), (BSO, (CC') в P(S)1 которые, следовательно, проходят через одну точку.
Аффинная интерпретация
Доказательство утверждения а) легко приспособить к аффинной геометрии и получить элементарное
ж ТЕОРЕМА - ДЕЭАРГА
159
доказательство теоремы Дезарга в аффинной пло« скости.
В самом деле, пусть (A,B9C) и (A', В', С)— два треугольника в аффинной плоскости 9. Мы можем отождествить 9 с собственно аффинной гиперплоскостью ее векторного продолжения E = 9 и положить 9 — P (E) = 9 (J ^5OO- Тогда каждая точка А е 9 отождествляется с р(А). Подсчеты, проведенные в а), сохранят силу, при условии что P^Y X1A^ обозначает барицентр трех взвешенных точек (A1, в 9, причем этот барицентр есть «направление прямой» в случае, когда Yj ht = 0.
Разумеется, это дает повод для обсуждения: ведь придется выделять случаи, когда прямые (AA'), (BB')t (CC) проходят через одну точку или параллельны, а также случай, когда некоторые из точек Р, Q, R бесконечно удаленные. По поводу прямого элементарного рассмотрения теоремы Дезарга в аффинной плоскости см. упр. III. 14.
Доказательство с помощью отправки в бесконечность
Для дальнейшего важно убедиться, что теорема Дезарга с помощью процедуры отправки в бесконечность сводится к двум простым свойствам аффинной плоскости.
В предположениях теоремы 10.1 обозначим через Д прямую (QR) и снабдим 9 = П\Д такой аф< финной структурой, чтобы Д была «бесконечно удаленной прямой» в плоскости 9 (см. § 4). Случай, когда прямая А проходит через одну из точек Л, В, С, А', В', С, без труда изучается непосредственно, и мы его исключим. Тогда мы приходим к простой теореме аффинной геометрии, а именно:
^ Теорема 10.2. Пусть (Л, В, С) и (A', В', С) — два треугольника в аффинной плоскости, такие, что (A'В')W(AB) и (A'C)W(AC).
J) В § V.11 дается другое доказательство, с помощью погружения П в проективное пространство размерности п ^ 3.
160 ГЛ TV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Тогда, для того чтобы прямые (AA'), (BB'), (CC) {предполагаем, что они различны) проходили через одну точку или были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы прямая (В'С) была параллельна прямой (ВС).
Доказательство. По предположению, существуют X, Ji є К*, такие, что A7B' = XAB и A7C' = \хАС. Поэтому б'С = \хАС — XAB и параллельность прямых (В'С) и (ВС) равносильна равенству Х = \х (так как
вектор В'С = \хАС — XAB коллинеарен BC = AC-AB лишь при X = \х). Разберем теперь две возможности: а) X = \i = 1 тогда и только тогда, когда обе прямые (BB') и (CC) параллельны (AA') (рис. 10).
Ь) Если ХФ\, то прямые (AA') и (BB') пересекаются в точке 5, такой, что SA' = XSA, и если Ji Ф 1, то прямые (AA') и (CC) пересекаются в точке Г,
такой, что ТА' = \хТА. Итак, X = р, тогда и только тогда, когда 5 = Г, т. е. прямые (AA')t (BB') и (CC) проходят через одну точку (см. рис. 11). Это и доказывает наше утверждение. ?
Замечание. Сведение теоремы Дезарга к аффинному случаю приводит к двум различным конфигурациям (рис. 10 и 11), отвечающим соответственно случаям, когда прямая (PQR) проходит или не проходит через точку 5, общую для прямых (AA'), (BB'), {CC').
11. ТЕОРЕМА ПАППА И КОММУТАТИВНОСТЬ ТЕЛА 161
Эти две конфигурации будут играть важную роль при аксиоматическом построении аффинной плоскости (см. гл. V).
П. ТЕОРЕМА ПАППА И КОММУТАТИВНОСТЬ ТЕЛА
Начнем с аффинного изучения.
^ Теорема 11.1. Пусть SP — аффинная плоскость над телом /С. Для коммутативности К необходимо и достаточно, чтобы существовала пара различных пере-секающихся прямых 2D' у таких, чтобы для любых троек (Л, В, С) точек на 2D и (Л', В', С) на 2D' из параллельности (АВ')\\(А'В) и [АС')\\(А'С) следовала параллельность (BC)H(S7C).
