Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
п=Ш/і * 0,7/0.03 * 23,33 лет.
Таким образом, одинаковое значение станок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных ироцетш точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.
Начисление годовых процентов при дробном числе лет
['I])H дробном числе лет проценты начисляются разными способами:
1) по формуле сложных процентов
2) на основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное — простые.
.V = P(I + 0"(I + hi). (15.2G)
тле п = a + h, а — целое число лет, /) — дробная часть года;
3) в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т. е.
S = P(I +i)". (15.27)
15.2.2. Номинальная и эффективная ставки процентов и их учет
Номинальная ставка
Пусть годовая станка сложных проценти равнаj. а число периодов начислення в году т. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m, Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле
.V=P(I +//ra)v, (15.28)
где jV - число периодов начисления, ,V = тп.
Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при т разовом начислении процентов в году наращенную сумму
15.2. Сложные проценты 329
можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам:
1) по формуле сложных процентов
S= P (\+j/mf'\ 05.29)
где N/t — число периодов начисления процентов, т — период начисления процентов;
2) по смешанной формуле
S= P (I + j/m)' (1 + bj/m), (15.30)
где а — целое число периодов начисления, т. е. a = \N/t\ — целая часть от деления всего срока ссуды N на период начислен ия т, b - оставшаяся дробная часть периода начисления (b = N/t - а). Пример 12.
Размер ссуды, предоставленной на 28 месяцев, равен 20 млн ден. ед. Номинальная ставка равна 60 % годовых; начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях:
• на дробную часть начисляются сложные проценты; ¦ на дробную часть начисляются простые проценты;
• дробная часть не учитывается. Результаты расчетов сравнить. Решение.
Всего 28/3 периодов начисления, т. е. 9 кварталов и 1 мес:
1) S= 20 ¦ (1 + 0.6/4)гал = 73,713 млн деп. ед.;
2) 5 = 20 ¦ (1 + 0,6/4)9 (і +¦ 0,6/4 ¦ 1 /3) = 73,875 млн лен. ед.;
3) S= 20-(1+ 0,6/4)9 = 70,358 млн ден. ед.
Из полученных результатов расчета следует, что наибольшего значения наращенная сумма достигает во втором случае, т. е. при начислении на дробную часть простых процентов. Таким образом, для ссудодателя выгоднее второй вариант, так как итоговая сумма получается максимальной, а для заемщика предпочтительнее третий вариант, так как итоговая сумма минимальна.
Эффективная ставка
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и тп-разовое наращение в год по ставке j/m.
21-12 га
330 Глава 15. Элементы финансовой математики
Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:
(1 +1,)- = (1 +j/m)a\ (15.31)
где I3 — эффективная ставка, a j — номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением
», = (1+;/"*)"-!. < 15.32)
Обратная зависимость имеет вид
j = m\(\ +ь),/и- 1|. (15.33)
Пример 13.
Банк начисляет сложные проценты па вклад, исходя из годовой номинальной ставки 0,12. Вычислить эффективную годовую процентную ставку при ежемесячной и ежеквартальной капитализации процентов. Решение.
По формуле (15.32) получаем:
i>(l +j/™)m- 1 =(1 + 0.12/12)12 1 = 1,192 - 1 = 0,192.
i;i=(l +j/mT- 1=(1 +0.12/4)' - 1 =1,1255 - 1 =0,1255. Пример id.
Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12 % годовых.
Решение.
Использование формулы (15.33) дает:
3 = m[(\+i,)x'n-\\ = \[(\ +0.12)"4- 1] = 0,115.
Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов Как и в случае простых процентов, рассмотрим два вида учета — математический и банковский.
Математический учет. В этом случае решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения:
S = P(I+ О".
из нес найдем Р:
15.2. Сложные проценты 331
P = 5/(1 4)" = 5V,
(15.34)
D"= 1/(1 + і)" = (1 +І)"
— учетный, или дисконтный, множитель.
(15.35)
Если проценты начисляются т раз в году, то P=S/(i+j/m)m = SLf"\
(15.36)
где
1/(1+У/"іГ=(1+>/"0
(15.37)
— дисконтный множитель.
Величину Р, полученную дисконтированием 5, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной 5. Дисконтный множитель показывает, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращенной.
Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется но формуле
