Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Пример 8.
Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного па 100 дней, сразу удерживается дисконт в размере 20 % От указанной
15.2. Сложные проценты 325
суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и годовой станки простых процентов і. Считать временную базу /Y равной 365 дням.
Решение.
(/=^ = 0.2-365/100 = 0.73, i = dj(\ - rf„>я = 0.2 - 365/( 1 -0.2) 100 = 0.91.
15.2. Сложные проценты
Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу посте их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, иногда называют капитализацией процентов,
15.2.1. Формулы наращения
Формула наращения по сложным процентам
Пусть первоначальная сумма долга равна Р, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(I + /), через 2 года -P(ItOO+O = ^O + О2, через л лет - P (1 + ()"¦ Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов
S = PO +0". (15.20)
где S- наращенная сумма; і — годовая ставка сложных процентов; п — срок ссуды; (1 + і)" — множитель наращения.
В практических расчетах в большинстве случаях применяют дискретные проценты, т. е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.).
Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической профессии, первый член которой равен Р. а знаменатель (I + і).
Наращенные суммы по формулам простых и сложных процентов (множители наращения, соответственно, (1 + пі) и (1 + і)") различаются между собой даже при условии одинакового периода начисления и одинаковой процентной ставки. Покажем ато на примере.
326 Глава 15. Элементы финансовой математики
Пример 9.
Исходная сумма кредита 100 ООО ден. ед. Ставка 30 % годовых. Определить наращенную сумму но простым п сложным процентам за ()„7 года, I год н 2 года.
PeUlCJ(W.
S1 = 100 000¦(I і 0.5 0,3) = 115 000 ден. ед. Л, = 100 000 ¦(] + !¦ 0,3) = 130 ООО дсн. сд. 5, = 100 000 ¦ (1 + 1 ¦ 0,3) = 1 fiO 000 ден. ед. J4= 100 ООО-(1 + 0,3)' ¦ = 114 017 лен. ед, J3 = 100 000 ¦ (1 +¦ 0,3)' = 130 000 дел. ед. S1- = 100 000 ¦ (1 + 0,3)- = I (Й (HK) ден. гд. Результаты расчетов запишем втлблицу.
Период начислен! и) суммы
I IjItMIIJNTIiI
lis nun
Лрпстьн.1 115000 лічі. сл.
2 гол л
ПО 000 леи. пл.
160 000 лип. и.
С'ли* it ьи- IM 01? Лі'ІІ і'Л.
130 !WO .ієн. ел.
1G9 ООП доц. ел.
Обобщая полученные результаты расчетов, можно сделать следующие иыподы:
1) при периоде менее года простые проценты более выгодны кредитору, иаиьу:
2) при периоде в 1 год использование простых и сложных процентов прпводш* к равным результатам;
3) при периоде более года использование сложных процентов приводит к более интенсивному росту наращенной суммы, т. е. выгоднее кредитору, банку.
Формула наращения по сложным процентам при изменении ставки во времени
В гом случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид
S = Po + I1TO+ У' •¦•<! +**)*.
где г,, ij, .... J1 — последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды и,, nv .,, тії соответственно.
15.2. Сложные проценты 327
Приме» 10.
В договоре зафиксирована переменная станка сложных процентов, определяемая как 15% годовых, плюс маржа (j % в первые-літ гола, 8% —в третпіі гол, 10 % — и четвертый год. Определить величину множителя наращения та -1 года.
Решение.
С1 + 0.21)г (1 + 0,23) (L + 0,25) - 1,83. Формулы удвоения суммы
R целях опенки своих перспектив кредитору и должнику интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастет в Л' раз при данной процентной ставке. Для этого приравняем множитель наращения величине iV, и результате получим:
а) дня простых процентов (1 * иг„„) - N. тогда
м-(.V I)Zi1111: (15.21)
б) для сложных процентов (1 >„):' = Л' тогда
п = !mV/ln( І і I11}. (15.22)
Для случая .V - 2 формулы (15.21) ;t (15.22) называются фирму тми уовоеиия п принимают следующий вид:
а) ,для простых процентов
и = !//„„; (15.23)
б) для сложных процентов
п = In 2/In(I ' :„). (15.24)
При небольших ставках процентов (менее 10%) вместо формулы (15.2-1) можно использовать более простую приближенную, если учесть, что In 2 * 0.7, л In (! -і і) s /. Тогда
л = 0,7/1. (15.25)
Пример 11.
Рассчнта ть, за сколько лот долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 3%. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формулам. Результаты сравнить.
Решение.
328 Глава 15, Элементы финансовой математики
л= 1Дф= 1/0.03 = 33,33 лет;
б) при сложных процентах, вычисленных но точной формуле,
M = In 2/Iи (1 + it,) = 0,6931 In(I+ 0.03) = 23.45 лет;
и) при сложных процентах, вычисленных но приближенной формуле:
