Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
271 дн. - 64 дн. = 207 дн.
Пример 3.
Найти приближенное число дней между 5 марта и 28 сентября. Расчет производим по схеме:
1) определяем количество месяцев с 5 марта по 5 сентября и умножаем на 30 дней;
2) находим количество дней с 5 по 28 сентября;
15.1. Простыв проценты 319
3) складываем количество дней в пи. 1 и 2. Получим:
Б мес, ¦ 30 дн. + 23 дн. = 203 дн. Простые переменные ставки
Процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:
S = Р( 1 + п, і, + пг і2 +... + пщ і, ) = р\ 1 + ? я, і,! (15,5)
где P — первоначальная сумма (ссуда); і, — ставка простых процентов в периоде с номером ?= 1, т; н — продолжительность t периода начисления по ставке ir Пример 4.
Пусть в договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых
процентов на первый квартал в размере 8 % годовых, а на каждый последующий — на 0,5% меньше, чем в предыдущий. Определим множитель наращения за весь срок договора:
1 + X "Д = I + 0.25 • 0,08 -ь 0,25 ¦ 0,075 + 0.25 ¦ 0.07 + 0,25 0,065 = = 1 + 0,25 (0,08 + 0,075 + 0,07 + 0,065) = 1,0725. Реинвестирование по простым процентам
Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована под эту или другую процентную ставку. Процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в пределах расчетного срока N. В случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной станки наращенная сумма для всего срока iV = X ni находится по формуле
S = P(I + B1,', )(1 + я,*,)-" О+ ) + «,',)Ь (15.6)
где п(, пъ п,„ — продолжительности последовательных периодов реинвестирования, I1, ij, .... \щ — ставки, по которым производится реинвестирование.
320 Глаза 15. Элементы финансовой математики
Пример 5.
На сумму 100 ООО ден. ед. начисляется 10 % годовых. Проценты простые, точные. Какова наращенная сумма, если операция реинвестирования проводится ежемесячно в течение 1 квартала?
Решение. По формуле (15.6) получим:
S = 100 000(1 + 0,1-31/365)(1 +0,1-28/365)(1 + 0,1-31/365) = = Ю2 4В6ден. ед.
Если операция реинвестировании не проводилась и точные проценты
начислялись за 1 квартал ежемесячно, то
5= 100 000(1 + 0.1 -31/365 + 0,1 • 28/365 +0,1 ¦ 31/365) = = 102 465 ден. ед.
Таким образом, операция реинвестирования выгодна вкладчику,
15.1.2. Дисконтирование и учет
На практике часто приходится решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S1 соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму Л этот расчет называют дисконтированием суммы S. Величина Р, найденная дисконтированием, называется современной величиной, или текущей стоимостью, суммы Л". Проценты в виде разности D = S-P называются дисконтом, или скидкой. Процесс начисления и удержания процентов вперед называют учетом. Дисконт как скидка с конечной суммы долга может определяться через процентную ставку или в виде абсолютной величины.
В практике используются два принципа расчета процентов: путем наращения суммы кредита (прямой) и установления скидки с конечной суммы долга (обратный).
В большинстве случаев фактор времени учитывается в финансовых контрактах именное помощью дисконтирования. Величина P эквивалентна сумме S в том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной 5. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением, Но понятие приведения несколько шире, чем дисконтирование. Приведение — это определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени. Если некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, если же речь идет о более поздней дате, то — наращение. Схемати-
15.1 Простые проценты 321
чески наращение и дисконтирование можно представить следующим образом:
_ .—. _ _ . .—. —„---
НАСТОЯЩЕЕ БУДУЩЕЕ
Исходная сумма
-¦-Наращенная сумма
Ставка
Приведенная сумма ^----------- Возвращаемая сумма
Ставка
Имеются два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет.
Математическое дисконтирование
Этот вид дисконтирования представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если \\ прямой задаче
S = PO + ні).
то в обратной задаче
P = S/0 + пі) (15.7)
Выражение 1/(1 t т) формулы (15.7) называется дисконтным множителем. Он показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт D суммы S равен
D = S-P. (15.8)
Банковский или коммерческий учет
Операция учета, в том числе учета векселей (вексель - письменное обязательство, дающее er« владельцу право требовать с .ю.лжннка уплаты указанной в нем суммы по истечении указанного в нем срока), заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает сі о у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему и конце срока, т. е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.