Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Красс М.С. -> "Математика для экономистов" -> 9

Математика для экономистов - Красс М.С.

Красс М.С. , Чупрынов Математика для экономистов: Учебное пособие — СПб.: Питер, 2005. — 464 c.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка): krass2005.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 137 >> Следующая


C=A?=\\ra\\. C^=G1I1 =2ХА' '=1-2...../к. 1-=1,2.....А. <1.25)

Тактгм образом, для вычисления элементов первой строки матрицы С необходимо последовательно получить скалярные произведения первой строки матрицы /I на все столбцы матрицы В\ вторая строка матрицы С получается как скалярные произведения торой векгор-стро-ки матрицы Л на все векторы-стодбцы матрицы В и т. д. Для удобства определения размера произведения матриц нужно поделить друг на

тії т

др^га произведении рш.черои матриц-сом пожнтелси: -—¦ =—; тогда

и к k

размер матрицы С равен произведению оставшихся в отношении чисел: т х. к.

Заметим, что если AwB- прямоугольные матрицы, то произведение BA уже может не иметь смысла (т. е. правило коммутатннпогтп не соблюдается).

Если матрицы Л н В квадратные порядка я, имеет смысл как произведение матриц AB, так и произведение матриц BA, причем размер этих матриц такой же. как и у исходных сомножителей. При атом и общем случае перемножения матриц правило перестановочности не соблюдается, т. с. ABfBA.

24 Глава 1. Элементы линейной алгебры

Пример 5.


'1 -I 2'

'0


Л-
0 2 3
B =
I
1


J * h


"2,

Решение. Поскольку число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы Д, то произведение матриц AB имеет смысл. По формуле (1.25) получаем f) про изведет і и матрицу размера 3x2:


'0
- 1
+
4
1 -
1
- О

'3
-4>

AB =
0
+ 2
+
6
0 +
2
- Г)
=

-4



+ ¦I
+
2
1 +
¦1
-2,

,6


Произведение BA не имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не совпадает с числим строк матрицы А.

Пример 6.

(2 ЗЇ 4 -1

B =

0Ї -2

Решение. ;-ідссь мы найдем произведения, данных матриц AB н BA.

A?:

ДА =

1 О

5 -2

'2 + 15 0 - 6 W17 ч4 - 5 0 + 2,1

1 0V2

2 + 0 3 f 0 10-8 15 + 2



2

3^

17;

Как видно п.ч результата, матрица произведения зависит от порядка расположения матриц ? прошыедении. Б обоих случаях произведения матриц имеют тот же размер, что и у исходных сомножителей: 2-2.

Пример 7. Дана матрица

A =

2 1

О

1 1

3 2J

Найти матрицу А\

1.2. Матрицы 25

Решение, Путем последовательного умножения матриц находим:

ft + 0 + 2 0 + 0 + 6 2 + 0 + 4^ 2 + 2+1 0 + 1+3 4+1 + 2 .1 + 6 + 2 0 + 3 + 6

А* = A1A = (AA)A =

0 24I

1 1 3 2j

(Ъ 6 6Vl 0 2\

5 4 7 9 9 9

1 1 3 2

2 +

24 25 36 36

(21 20

3 + 4

24^ 28 45

2. Свойства произведения матриц. Пусть А, В и С - матрицы соответствующих размеров (чтобы произведении матриц были определены), а а — действительное число. Тогда имеют место следующие свойства произведения матриц:

1) (AB)C = A(BC);

2) (А + Й) C = AC +¦ ВС;

3) А(0+С) = ЛВ + /1С;

Л) а (АВ) = (аА) B = А (аВ),

В первом пункте этого раздела введено понятие единичной матрицы Е. Нетрудно убедиться, что в алгебре матриц она играет роль единицы, т. е. можно отметить еще два свойства, связанных с умножением на эту матрицу слева и справа:

5) AE = A; G) EA = A.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.

1.2.5. Собственные значения и собственные векторы матрицы

В этом разделе мы будем рассматривать квадратные матрицы размера лхп, или, что то же самое, матрицы порядка п.

При умножении матрицы порядка п на л-мерный фактор в произведении получается л-мерный вектор:

Ax = I.

Однако для любой матрицы существует набор основных векторов, таких, что произведение матрицы ыа вектор из такого набора равносильно умножению этого вектора на определенное число.

26 Глава 1. Элементы линейной алгебры

Определение 14. Число X называется собственным значением матрицы А порядка п, если существует такой ненулевой вектор .гей", что выполняется равенство

Ax=Xx. (1.26)

При этом вектор д" называется собственным вектором матрицы А, аХ — собственным значением матрицы А, соответствующим вектору лТ,

Уравнение (1.26) представлено в матричной форме. Группируя все слагаемые этого уравнения в левой части, его можно переписать в более удобном виде:

(A-Xf)x=U. (1.27)

Проблема отыскания собственных значений и собственных векторов матриц составляет основу специального раздела алгебры — далее мы еще вернемся к этому вопросу. Здесь лишь отметим один важный результат алгебры матриц: для симметрических матриц (1.23) все п собственных значений являются действительными числами.

1.2.6. Ранг матрицы

Ранее уже говорилось, что матрицы размера или можно рассматривать как системы, состоящие из т w-мерных векторов (или из п т-мер-ных векторов). Поскольку любая система векторов характеризуется рангом (см, 1.1.5), то естественно встает вопрос о такой же характеристике и для матриц. Так как здесь имеют место две совокупности пек-торов — векторы-строки и векторы-столбцы, — то у матрицы, вообще говоря, имеется два ранга: строчный и столбцовый. Ответ на вопрос об их равноправии дает следующая теорема.

Теорема 1.3. Строчный и столбцовый рант любой матрицы равны.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed