Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
yt > О, / = 1, т.
Теорема 14.3.
Значения переменных у, в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов системы ограничений исходной задачи на оптимальное значение се целевой функции, т. с.
dL ' Si,
Примем dL: * AL1, Si1 = ДЬ., тогда Ai1 = у t &bi.
Для задачи оптимального использования, сырья это уравнение показывает, что при изменении 1-го ресурса оптимальный доход является линейной функцией от ею приращения, причем коэффициентом служит у, — і-я компонента оптимального решения двойственной задачи.
Если U1 мало, то значительному увеличению г-го ресурса будет соответствовать небольшое увеличение оптимального дохода, и ценность ресурса невелика. Если у, = 0, то при увеличении г-го ресурса оптимальный доход остается неизменным, и ценность этого ресурса равна нулю. В самом деле, сырье, запасы которого превышают потребности в нем, не представляет ценности для производства, и его оценку можно принять за нуль. Если у, велико, то незначительному увеличению 1-го ресурса будет соответствовать существенное увеличение опти-
282 Глава 14. Линейное програм мирова кие
мального дохода, н ценность ресурса высока. Уменьшение ресурса ведет к сущестнеїгному сокращению выпуска продукции.
Величину у-, считают некоторой характеристикой ценности і-го ресурса. В частности, при увеличении У-ro ресурса на единицу (Д b, = 1) оптимальный доход возрастает на у„ что позволяет рассматривать у, как •«условную цену*, оценку единицы і-го ресурса, объективно обусловленную оценку. Так как у, представляет собой частную производную от оптимального дохода по 1-му ресурсу, то она характеризует скорость изменения оптимального дохода при изменении і-го ресурса.
С помошыо у, можно определить степень влияния ограничении на значение целевой функции. Предельные значения (нижняя н верхняя границы) ограничении ресурсов, для которых у, остаются неизменными, определяются но формулам
А," = min
Х1±
b° = max
где .Vj — значение переменной в оптимальном решении; dt) — элементы обратной матрицы (^) = Л"1 базиса оптимального решения, для которой А - (а^)т,п (т, е. А — матрица порядка т к п).
Если в план включаются новые виды продукции, то их оценка находится по формуле
т
1=1
Если д, < О (т. е, прибыль превышает затраты), то новый вил продукции улучшает план. При Aj> О нецелесообразно включать новый вид продукции.
14.3.4. Применение теории двойственности в экономике
Поясним на примере применение теории двойственности.
Фирма выпускает три вида изделий, располагая при этом сырьем 4 типов: А. 5. В, Г в количествах 18, 16, S и б т соответственно. Нормы затрат каждого типа сырья на 1 ед. изделия первого вида составляют, соответственно, I, 2, 1, 0, второго вида— 2, 1. I1 t и третьего вида — I1 1,0, I. Прибыль от реализации 1 ед. изделия первого вида равна3 дсн. сд., второго — 4 ден. ед., третьего — 2 ден. ед. Требуется:
W.3. Двойственные задачи 283
1) составить плав производства трех видов, максимизирующих прибыл ь;
2) определить дефицитность сырья;
3) установить размеры максимальной прибыли при изменении количества сырья Л на 6 т, Б - на Зт. В - на 2 т, Г - па 2 т. Оценить раздельное влияние этих изменений и суммарное их влияние на прибыль;
4) оценить целесообразность введения в план производства фирмы нового вида изделия (четвертого), нормы затрат на 1 ед. которого равны, соответственно, 1, 2, 2, 0, а прибыль составляет 15 усл. ед.
Решение.
1. Обозначим х = (.V1. тг. jc-,) клал производства изделий трех видов, тогда математическая модель задачи примет вид
L(x) - Зт, + 4.V^ + Zv1 —> max
при ограничениях
T1 + 2х2 +х^ < 18, < Zv1 + T3 + .V3 < 16, .V1 + л-^ <. S1
X2 +X3 S 6,
х} ?0, j = U
Решаем задачу симплексным методом, при этом последняя таблица будет иметь следующий вид:
с,
БП
*з
-TS
0
0
0
0
]
0
-1
-1
4
2
*3
0
0
1
0
1/2
-1
1/2
3
3
*!
і
0
(t
0
1/2
Q
-1/2
5
4
-І'ї
0
1
0
0
-1/2
1
1/2
3
0
0
0
0 j 1/2
2
3/2
33
Из таблицы следует; xm =(5, 3, 3, 4, 0, 0, 0), при атом I (-*)„,„ =33 усл. ед.
Согласно теоремам двойственности.
у,1ПІ =(0, 1/2, 2, 3/2, 0, 0, 0), при этом S(y)mill =33 усл. ед.
2. Наиболее дефицитным является сырье типа Д для которого двойственная опенка у.\=2. Менее дефицитно сырье вида Б, для которого = 1 /2, Совсем не дефицитным является сырье А (гу( = 0).
С целью определения интервала устойчивости оценок найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов при базисных переменных і: оптимальном решении системы ограничений. Базисными переменными о оптимальном решении являются T1, .г2, xit xt. Матрица коэффициентов при этих переменных в системе ограничений имеет вид
'12 1
Обратная матрица имсед вид
А 1 =
Найдем интервал устойчивости оценок по видам сырья:
1/2
0
0
-V2
1
1/2
0
1/2
-1
1/2
,1
0
-1
-1,
(¦
ДА" = min
