Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Красс М.С. -> "Математика для экономистов" -> 8

Математика для экономистов - Красс М.С.

Красс М.С. , Чупрынов Математика для экономистов: Учебное пособие — СПб.: Питер, 2005. — 464 c.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка): krass2005.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 137 >> Следующая


Определение И. Прямоугольная таблица чисел пила

(1.19)

называется матрицей. Здесь а., — действительные числа (i = 1, 2.....т;

j = 1, 2.....fi), называемые эланешолт матрицы, t и j - соответственно,

индексы строки и столбца. При этом произведение тя числа строк на число столбцов называютразмеро.и матрицы Л. Матрицу (.1-19) записывают также в сокращенном виде:

20 Глава 1. Элементы линейной алгебры

А = !|«,Д < = 1. 2..... m. j = I. 2..... п. (1.20)

Матрица, все элементы которой равны, нулю, называется нулевой матрицей.

И том случае, когда т = п (число строк равно числу столбцов), матрица А называется квадратной. Тогда число п насыпается порядком матриц],!.

Упорядоченная совокупность элементов <V||. .... />,.„ называется ¦?їй(шші диатпа.іию киадратпоії матрицы. Квадратная матрица называется диагональной, если ненулевыми явдяюіея точько элементы главной диагонали.

Единичной матрицей намывается диагональная матрица, у которой «се элементы главной диагонали раины единице, а все другие элементы — нулю:

1^o о

Определение 12. Две матрицы Л и В называются равными (А = В), если они именит одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: IL1 = b.;, і = 1. 2.....т: j = 1, 2.....п.

1.2.2. Линейные операции над матрицами

1. Сумма матриц. Суммой матриц .1I и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих .элементов матриц .¦¦I п В. Если

А = Wa11I В = 1]/>„||; і = 1. 2..... т. j = 1. 2..... п,

то сумма этих матриц C= А ¦+¦ В имеет вид

С = U-Л Ч = *„ 4 К ' = 1- 2..... т. j-- 1, 2..... п.

Пример 2. Пусть даны матрицы А и В:


f-2 з
3

'2 I
-5


А =
0 -1
2 I.
В -
3 2
А
-1


I 3 А
3 5 J

,2 -3
5
-2,

01

I)

u

(L.2I)

1.2. Матрицы 21

Hx суммой, согласно определению, является миозина

'О і -"I 8' С - 3 1 fi О .5 1 1 3j

2. Умножение матрицы на действительное число. П]іотведеинем матрицы A ii'd деист ни тельное число (л пн.швается матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствую в lern элемента матрицы А на ч з !сю а.

Пример 3. Пусть даны мпт|)іііш .'1 и число «:

3. Свойства операций суммировании матриц и произведения матрицы на число, непосредственно вытекающие їм определения тих операций. Пусть Л, В ir С - матрицы, имеющие одинаковый размер, я а 11 р - f гекпторые лействкт&1ЪН ыт? числа. Тогда*

1) A + Я-В М;

2) {А + B) + C^-A + (B + Q: 'J) а(Л+B)^uA +аВ;

A) (a + 0) Л = аЛ * ?/l: 5) (сф)Л = (сЫ)|3;

G) А + О -Л, где О — нулевая матрица; 7) Q-A = 0.

1.2.3. Транспонирование матриц

Т/кітлиии/юишші-м матрицы называется замена строк матрицы на ее столицы с сохранением их порядка (или., что то же самое, замена столбцов матрицы на се строки). Пусть дана исходная матрица .4 (1,19). Тогда, согласно ощэеделенню. транспонированная матрица А' (часто используется также обозначение Л1) имеет вил

Произведением матрицы А на число гд является матрица

22 Глава 1. Элементы линейной алгебры

"ml

Сократи і пая форма а'аписи операции транспонирования матрицы: Л = І|оД А- = \\а,\\: 1=1. 2, .... т. j=\, 2.. .... п.

Пример 4. Пусть даны матрицы А и В.

(S з п

А

2 і -2 [5 7 О

B =

2 1 U 3 5 2 4 7

'G 2 5 1. 3-17 о -2 С,

Я' =

Соответствующие транспонированные матрицы имеют вид

'2 5Ї 1 2 О 4 ^ 7 J

Свойства операции транспонирования матриц:

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

А"= А. (І.22)

2. Главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.

Важную роль в алгебре н ее приложениях играют симметрические матрицы квадратные матрицы, у которых элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, т. с. а„ = я,-(. Транспонирование таких warpjuj не меняет ил вида, гак что равенство

A=A' (1.23)

также можно полагать определением симметрической матрицы.

1.2.4. Произведение матриц

1. Умножение матриц — это специфическая операция, составляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы матриц можно рассматривать как векторы-строки и векторы-столбцы соответствующих рал-

1.2. Матрицы 23

мерностей; иными гловями. любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк или векторон-ст.тбцои.

Пусть даны две матрицы: /1 — размера т х п п В — размера;/ х к. Будем рассматр!тать матрицу Л как совокупность т векторов строк O1 размерности н каждый, а матрицу В — как совокупность k векторол-столбцов b . содержащих по п координат каждый;

0I
'«..



fin

... ь„
¦ О








і)м -




^.I
п-ї -
¦ <¦'»„.,

А,




Длина CT))OKH матрицы А равна высоте столбца матрицы В. и потому скалярное произведение этих векторов имеет смысл.

Определение 13. Произведением матриц Л и В называется матрица С, элементы которой равны скалярным произведениям векторов-строк а, матрицы А на векторы-столоны /»( матрицы В;
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed