Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
и=и(г,. «,)¦ (13.15)
Все портфели, лежащие на одной линии безразличия, или линии уровня функции (13,15)
«<гр, о„) = Д (13.16)
являются равноценными для инвестора. Линии безразличия отражают отношение инвестора к риску и доходности портфеля и представляют собой кривые в координатах ар - гр (рис. 13.6). Инвестор считает любой портфель, лежащий на линии безразличия выше и левее, более привлекательным, чем портфели, лежащие на линии безразличия, которая ниже и правее. Ожидаемая доходность портфеля состоящего из п ценных бумаг, равна
13.3. Портфельный анализ 253
= І>(1. (13-17)
где X1 — доля начальной стоимости портфеля, инвестированная в і-й вид ценных бумаг, гг — ожидаемая доходность /-го вида ценых бумаг, п — количество видов ценных бумаг в портфеле.
Стандартное отклонение портфеля о (гр) вычисляется следующим образом. Дисперсия доходности портфеля — это дисперсия суммы случайных величин; как известно из теории математической статистики, она равна ковариацпи:
OC) = COv(^r1;-,, ?х,Г;)=?? X1XfW^, гД (13.18)
^ 1=1 ;=) J І.) у=!
Здесь Cov (г;, г,) — ковариацня ожидаемых до ходи остей ценных бумаг ? м}, вычисляемая по формуле
Cov(rlF rj-) = u.^D{ri)D(rj)=\i^iGj, (13.19)
Lj = I 2, .... я,
где p,j — коэффициент корреляции между доходностями і-й и^'-й ценных бумаг, D н о — соответственно, дисперсия и стандартное (сред-неквадратическое) отклонение доходностей ценных бумаг. Как известно,
Формула для стандартного отклонения портфеля имеет вид
a(r,) = j7^). (13.20)
Пример 10. Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности портфеля, состоящего из 30% акций компании А и 70% акций компании В, если их доходности некоррелированы и равны, соответственно. 25 и 10 %, а стандартные отклонения — 10 и 5 %.
Решение. По формуле (13.17) получаем:
г„ = 0,3-25% + 0,7-10% =14,5 %.
Поскольку доходности бумаг некоррелированы, то щ = 0 при і фj, и тогда
о (г.)= VU09-100 + 0,49-25 = 4,6 %.
254 Глава 13. Методы расчета рисковых ситуаций в экономике
13.3.3. Диверсификация портфеля
Приведенный пример показывает, что портфель ценных бумаг обладает меньшим риском, чем некоторые отдельные составляющие его бумаги. Это свойство портфеля называется диверсификацией: уоели-ченне количества видов ценных бумаг при одновременном сокраше-нпи их долен в общей ожидаемой доходности уменьшает риск портфеля. Проиллюстрируем это еще на одном примере.
Пример 11. Найти ожидаемую доходность п ее стандартное отклонение для портфеля, состоящего из 10 видов ценных бумаг с некоррелированными доходностями. доли ценНЫХ бумаг ДГ;, их доходности г, и стандартные отклонения а; приведены в таблице.
Параметры
Номера ценных бумаг і"
1
2
3
¦I
5
6
7
8
9
10
Л;, %
10
IU
10
10
10
10
20
10
5
5
rt. %
15
15
18
12
25
20
Ю
28
35
50
_ п.'
G1. /о
е
8
IO
7
12
10
5
15
20
25
Решение.
гг = 0,1 ¦ 15 + 0,1 ¦ 15 + 0,1 - 18 + 0.1 ¦ 12 + 0,1 - 25 + 0,1 - 20 + 0,2 - 10 + + 0,1 ¦ 28 + 0,05 ¦ 35 + 0,05 ¦ 50 = 19,55 %.
Так как случайные величины доходностей бумаг' являются независимыми, то дисперсия доходности портфеля
D (J-,) = 0,01 -64 +0,01 - 64 + 0.01 - 100 + 0,01 ¦49 + 0,0I • 144 + 0,01 х * 100 + 0,04 -25 + 0,01 ¦ 225 + 0,0025-400 + 0,0025 - 625 = 11.02.
Тогда a(rp) = «jD(rp) = 3,32 %, Видим, что стандартное отклонение
доходности портфеля оказалась ниже минимального значения для ценной бумаги с. номером 6, а «пиковые» значения стандартных отклонении ценных бумаг с номерами 9 и 10 попросту «растворились» в общей величине а
Приведенный пример показывает, что крупные компании на рынке инвестиций чувствуют себя гораздо более уверенно, нежели их мелкие конкуренты, поскольку крупные инвестиции позволяют приобрести более диверсифицированные портфели и тем самым в значительной мере обезопасить компанию от рыночных рисков.
13.3. Портфельный анализ 255
13.3.4. Выбор оптимального портфеля
На рис. 13.6 показало достижимое множество, иредставляющс собой все портфели, которые можно сформировать из п вилов ценных бумаг. Множество портфелей, обеспечивающих минимальный риск при ме-няюв[Є.мся уровне ожидаемой доходности, находится на левой части границы достижимого множества, расположенной между точками А и С. Справедлива теорема об эффективном множестве портфелей: инвестор выбирает свой оптимальный портфель из такого множества портфелей, каждый из которых: а) максимизирует ожидаемую доходность для некоторого уровня риска; б) минимизирует риск для некоторого уровня ожидаемой доходности. Согласно этой теореме, инвестора удовлетворяют только портфели, находяпщеся на верхней и левой границе достижимого множества, т. е. эффективное множество портфелей представляет собой участок границы AB. Па этом множестве инвестор будет выбирать самый оптимальный.
Для выбора оптимального портфеля инвестор должен совместить свои линии безразличия с эффективным множеством (рис. 13.7). Оптимальный портфель будет соответствовать точке, в которой кривая безразличия касается эффективного множества — портфель О* на кривой безразличия
