Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
13.1.4. Игры с ненулевой суммой и кооперативные игры
В этом случае игроки могут выигрывать и проигрывать одновременно. Теперь уже интересы игроков не являются полностью противоположными, и lis поведение становится более разнообразным. Такая ситуация весьма характерна для рыночных отношений. В игре с ненулевой суммой становится желательным координировать своп действия с партнером либо каким-то образом влиять на его действия. Игры с ненулевой суммой могут быть кооперативными (всообществе) и не-кооператпвными (принятие решений независимо друг от друга). Приведенный в 13.1.2 случай двух фирм па рынке представляет собой пример игры двух игроков с ненулевой суммой. В зависимости от исходных условий взаимодействие игроков либо возможно, либо невозможно.
242 Глава 13. Методы расчета рисковых ситуаций в экономике
В случае некооперативных игр важным моментом является определение точек равновесия игры. Вообще понятие равновесия в теории игр шире понятия оптимизации и включает последнее в качестве частного случая. В общем случае пара стратегий X* и Y* для игроков 1 и 2 называется точкой равновесия по Нэшу. если обеим игрокам невыгодно отклоняться от своей стратегии в одиночку, т. е.
для любых Л' її К.
Пример 3. Определит!) точки равновесия для игры с биматрнцеп выигрышей
Решение. Нетрудно видеть, что в LiTOJd игре игроку 1 (2) невыгодно отклоняться от 1-й (2-й) стратегии, если ее придерживается игрок 2(1).
В теории HiTJ доказано, что для любой конечной некооперативнон игры с ненулевой суммой всегда существует по крайней мере одна равновесная пара сметанных стратегий; в общем случае равновесное решение может быть неедпнственным, причем каждому из них могут соответствовать разные значения выигрышей у игроков.
В случае кооперативной игры с двумя игроками предполагается, что игроки не могут воздействовать друг на друга до тех пор, пока не придут к некоторому соглашению. В этом случае игра (вернее, ее исходы)
верхней границе этого множества. Рис. 13,1, Множество исходов кооперативной На этой границе выделяется мно-
H1(X1 У*) S A1 (X*, У). K(X*. Y) < A2(X*, Y*)
(13.10)
'(Vl) (0.0V ,(0.(J) О- 4>,
представляется как множество S на плоскости общих выигрышей A1 и Ла (рис. 13.1). Задаются значения выигрышей 7\ п T2. которые моїут получить, соответственно, 1-й и 2-й игроки без кооперации с партером. В предположении О ТОМ, ЧТО множество 5 яаіяется выпуклым, замкнутым и ограниченным сверху, можно доказать, что оптимальные решения находятся на правой
игры с двумя игроками
жество P Парета-оптимальныхре
13.1. Элементы теории игр 243
тении, на котором увеличение выигрыша одного на игроков возможно только за счет уменьшения выигрыша его партнера. На множестве P точками Т\ и V1 ограничено переговорное множество N; оно характерно тем, что игрокам нет смысла вести переговоры относительно решений вне его, так как либо положение одного на игроков может быть улучшено без ущерба для партнера, либо он может достичь лучшего вы1И"рыша в одиночку. На переговорном множестве выделяется точка iV*, соответствующая равновесию по Нашу, — точка Нзша; в ней достигается максимум произведения
ITIaX(A1 -Tx)(H3-T2), (13.11)
в котором сомножители представляют собой превышения выигрышей каждого из игроков над платежами, которые могут быть получены игроками без кооперации. Точка Наша является одним из возможных решений кооперативной игры, наиболее привлекательным для партнеров.
Пример 4, Кооперативная игра дается биматрнцей выигрышей
'(8-2) (O1O)4
¦М- <> (2.6)/ Определить основные характеристики игры.
Решение. На плоскости A1OA2 множеством 5, определяющим игру, является треугольник с вершинами, данными в биматрице: 0(0, 0), А (2, 8). В (8, 2) - это множество является выпуклым (рис. 13.2), Сторона AB этого треугольника представляет собой Парето-оптималь-ное множество: увеличение выигрыша одного игрока возможно тол 1»ко за счет партнера. Точка Г(4, 4) определяет выигрыши, которые игроки могут получить без взаимодействия с партнером. Переговорное множество N (отрезок T[T2) лежит на линии AB. На этой линии находится точка Нэ-ша N* (5, 5) — в ней произведение (А, - 5) (Fi2 - 5) для точек (A11 A2), лежащих вне множества Af1 принимает наибольшее значение.
B(S. 2)
Рис. 13.2. Характерне™»! итеративной игры для примерз А
244 Глава 13- Методы расчета рисковых ситуаций в экономике
13.1.5. Позиционные игры
Игры, в которых задастся последовательность принятия решений игроками, называются позиционными играми Число viтроков в них может варьировать от двух и более. Если в ранее рассмотренных случаях полататись, что игроки принимают свои решения одновременно, не зная о решении партнера, то в данном случае игрок принимает свое решение, уже зная о решении партнера (соперника), т. е. в ответ на его решение. К позиционным многошаговым шрам двух лиц, где игроки принимают Своп решения, зная о всех предыдущих решениях партнера, относятся, например, шахматы и шашки.
Позиционную юру, в силу иі меченпой особенности ее структуры, наглядно представляет дарено решении (в общем случае - граф решений), приводящее игроков [Li исходной позиции в конечные. Вершины дерева шры называются позициями. Позиции, непосредственно следующие за некоторой позицией, — .это а.шнерпатипы; позиции, не ішекшне альтернатив, называются окончательными, а ведущие в них пути — партиями. Часть дерева решений, описывающая игру из некоторой позиции (которая может считаться начальной), называют подыгрой. В{то игру подчас можно разбить на ряд подыгр, н решения каждой нз них представляют собой самостоятельные задачи. Примером подыгры являются шахматные этюды.
