Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
2'
12 Введение
мпкд использует методы, PaUiIaOOTaIiIiLiL" в XX и. Л. В. Канторовичем. В. В. Леонтьевым, ё. Li. Слуцким. В >чго же время шгтепепвнп развивался н математический аппарат, применяемый и экономике.
В предлагаемое учебное пособие включены основные разделы ГшойоЙ математики, составляющие минимально необходимый аппарат экономики: математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей и математическая статистики. H качестве математических Mf годов экономики, основанных на атлх разделах математики, рассмотрены липеї'інпе программирование, основы финансовой математики, элементы теории рисков н жопо.метрнка. Такая подборка тем позииляеч рассмотреть как традиционные методы математики, используемые а экономике, тик п новые методы, активно применяемые н последнее время.
В книге попользованы материалы, прошедшие практическую проверку при преподавании математики и ее приложении в экономике в экономических государственных и негосударственных нуаах для различных форм обучения, а том числе очной, вечерней и дистанционной, а также дополнительного и второго высшего образования.
При положении материала применяются градпшюипьк1 обозначения и термпггологпя.
Изучение математики н ее методов в экономике, составляющих основу современной экономической математики, позволит будущему специалисту приобрести необходимые базовые паш>п%м. расширить кругозор, повысить уровень мышления н общую к>-і»т.у]іу. Все это понадобится ему для ориентации в профессиональной деятельности п успешной работы.
Часть I
Линейная алгебра и ее приложения
Глава 1
Элементы линейной алгебры
1.1. Векторное пространство 1.1.1. Векторы и их свойства
Приведем обобщение понятия вектора на и-мсрный случай.
Определение 1. .Любин упорядочен її ыи набор it:i и действительных чисел Hj1 a-i, й„ называется ti-мериым вектором а; числа, составляющие упомянутый набор, называются координата.чи (компонентами) вектора а.
Определение 2. Совокупность всех «-мерных векторов называется п-мерным векторным проепцншетвом К".
Координаты л-мерпого вектора а можно расположить либо ц строку (вектор-строка)
я = {a,. Oi..... O11), (1.1)
либо в столбец (вектор-столбец)
а =
(1-2)
Определение 3. Дна пектора с одним и тем же числом координат
a.lt аД T)=W1, К.....AJ (1.3)
(Шыиаются равными, если их соответетвуїсипне координаты равны, т. е.
1.1. Векторное пространство 15
Оирсделенне 4. Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым вектором:
O -(0, 0, 0).
1.1.2. Операции над векторами
Пусть векторы а и b (1 3) принадлежат п-мерниму_ векторному пространству Л"'. Будем насыпать суммой вектароя а и А вектор с, координаты которого равны суммам соответствующих координат зтнх векторов;
<? =л + А = («, + A1, «, + h,..... л„ + AJ. (1.4)
Пусть л. — любое деГіствзіте.тыme число. Пртиіведеиием вектора а па часі» X будем называть вектор, координат которого получаются умножением соответствующих координат вектора а на это число:
с = Xa = (ллг Xn2..... Xan). (1.S)
Из введенных такті образом операций нлд_векторами вытекают следующие свойства этих операций. Пусть а, b н с - произвольные век-тиры «-мерного векторного пространства. Тогда;
1) <7 + Л= А + я — перемсститсльнпс свойство;
2) (й т- А) т с = й + (А +¦ с) - сочетательное свойство;
3) А.(й + b)- J.S + XA,где Jl — действительное число; *
4) (/. + р)л = л.Й + цй, где Лиц действительные числа;
5) X (рЙ) = (лц) a, IVLi- лиц- действительные числа:
6) UfO=S:
7) :ш! любої'о вектора a существует такой вектор - а, что
-а =(-1)й. я +(-7I) = O; 8. 0 - л = 5 для любого вектора а.
1.1.3, Скалярное произведение векторов
Определение 5. Скалярным и/мшжОтием векторов Ti п b (1.3) называется числи, состоящее из суммы произведений соответствующих координат этих векторов:
Hb = я,[\ + а,Ь; ¦>... + anbn. (1.6)
16 Глзва 1. Элементы линейной алгебры
Из лап нот определения следуют основные свойства скалярного произведения векторов:
1) Yi Ь = h а (соблюдается правило коммутативности);
T) (XTi)I) = a (Xh) = X(Ti Ii), где X — действительное число:
У) a (I + с) = Ti Ь + и г;
•1) Ъ Tl > 0, CCjTH д * O II AA=O1 если Ti - 0.
Введем понятия модули вектора (его длины) н угла между векторами
ы Bine обобщения на случаи при п > 3-
Определенне 6. Для векторов из п-мерного векторного пространства модуль вектора Ti и vi'u.'i ф между двумя ненулевыми векторами п и h определяются по формулам
\a\ = Ja? = ^; +a] +... + a' =-jlX: 0-7)
/im
созф = (1.8)
I «¦ I ¦ I н
Укажем одно важное свойство векторов. Векторы «ні будем насыпать upma/aiuiiiiitbiMii, если их скалярное произведение равно нулю:
fib =0. (1,9)
Равенство (L9) является аналогом условия перпендикулярности векторов в двух- н трехмерном случаях, когда в равенстве (1.8) cos ф= 0.
1.1.4. Линейная зависимость векторов
При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не г одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной размерности. Тпкую совокупность называют системой векторов и обозначают одной буквой и с разными порядковыми номерами:
