Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
yr = ап + u,u + u^t1 + в;,(А 4 .,,
21— 12 22
418 Глава 18, Прогнозирование экономических процессов
Параметр а0 является начальным уровнем ряда при t = 0, а, называют линейным приростом, а2 — ускорением роста, й3 — изменением ускорения роста.
В экономических исследованиях в большинстве случаях применяются полиномы не выше третьего порядка.
Полипом первой степени
у, = ad+ a,t
на графике (рис. 18.1) изображается в виде прямой и используется для описания процессов, развивающихся равномерно во времени.
ті
а2 > О
Рис, 18.1. Полином первой степени
Рис. 19.2. Пепином второй степени
Полином второй степени
У, = ай + а^ + аге
на графике (рис. 18.2) изображается в виде параболы и применяется в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно. Если а^ > О,
то ветви параболы направлены вверх, в случае а2 < 0 — вниз.
Полином третьей степени
у, = аа+ a,t. + a2t? + a^t3.
У этого поликома (рис. 18.3) знак прироста ординат может изменяться один или два раза.
Оценки параметров полиномов определяются методом наименьших квадратов. Так, нормальное уравнение для определения коэффициентов прямой имеет вид
Рис. 18.3. Полином третьей степени
18.3. Применение модепей кривых роста в экономическом прогнозировании 419
|Z#, =e„«+a,Zf, \ly,t = a0Zt + a,Zt'J.
Решение системы, т. е. нахождение коэффициентов системы й0 и (lt, производится по формулам Крамера.
Систему нормальных уравнений можно упростить и уменьшить абсолютные значения величин, если перенести начала координат в середину ряда динамики. Если ло переноса начало координат t равно 1,2,3.,., то после переноса получим:
• для четного числа членов / = .„, -5, -3, -1, 1, 3, 5...,
• для нечетного числа членов I = ..., -3, -2. -1, О, I1 2, 3... В этом случае коэффициенты прямой находятся из выражений
ай =Еу,/п; a, = Т.у, r/Zr3. (18.13)
Аналогично определяются коэффициенты полинома второй степени (параболы), которые после переноса начала координат в середину ряда динамики имеют вид
я0 =1у,In-U1InMJCLy^ -Lt*Iyr)/\nZt' -(Zt')3]};
at = Щ tilt7; at =(nLytr - U1 Iy t )/[«Zr' -(It")1]; (18-14)
Показательная кривая (рис. 18,4) имеет следующий вид.
0,-7 о"-
Рис 18.4. Экспонента уі = аУ
т = a и.
Если Ь > 1. то кривая растет с ростом t и надает, если Ъ < 1. Параметр а характеризует начальные условия, а параметр b — постоянный темп роста.
Прологарифмировав это выражение, получим:
27'
420 Глава 18. Прогнозирование экономических процессов
Iogjy, = Loga + t log ft.
Обозначим A = logG, fi = Iogfc. тогда log і/, = Л + r?. Для оценивания неизвестных параметров можно использовать систему нормальных уравнении для прямой и найти параметры А и В. Зная значения A=\uga и B-]ogb, путем потенцирования определим значения а и Ь.
Следует иметь в виду, что полученные таким образом оценки параметров показательной кривой оказываются смешенными в связи с тем, что в расчете участвуют не исходные данные, а их логарифмы. Причем смещение будет тем значительнее, чем больше разность между соседними уровнями заданного ряда.
Рассмотренные типы кривых используются для Описания монотонно возрастающих или убывающих процессов без насыщения. Примером кривой с насыщением является модифицированная экспонента (рис. 18.5)
y, = k+atf, (18.15)
где у- к - горизонтальная асимптота.
Рис. 18.5. Модифицированная экегюнбнта у, - к + ab1
Коэффициент к может быть определен исходя из свойств прогнозируемого процесса или задан экспертным путем. В этом случае параметры кривой могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов после приведения уравнения к линейному виду
где к, — заданное значение асимптоты. После логарифмирования этого выражения получаем:
18.3. Применение моделей кривых роста э экономическом прогнозировании 421
log(U1- k^^lcga + tlogb.
Используя систему нормальных уравнений, можно найти параметры log а и log b, потенцирование которых определяет а и Ь. Если параметр а отрицателей, то асимптота расположена выше кривой. В экономических процессах чаще всего используется случаи, когда я<0. /)< 1. При этом рост уровней ряда замедляется и стремится к некоторому пределу.
Наиболее известными нз S-образных кривых являются кривая Гом-перца (рис., 18,6) и логистическая кривая (кривая Перла — Рида) (рис. 18.7).
log а < О
Рис. 18.6. Кривая Гомперца у, - Кэ*
Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение
yt = tu)\ (18.16)
где a, b — положительные параметры, причем b меньше единицы; y = k — асимптота функции.
Для решения экономических задач чаще всего используется случай, когда logu<0, *<1.
В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом прирост функции незначителен, на втором прирост увеличивается, на третьем прирост примерно постоянен, на четвертом происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. В результате кривая напоминает латинскую букву S.
Рис. 1В.7. Логистическая кривая
1/ у, = к +¦ ab1
