Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
« вычеркивание уравнения 0.V1 + {)л\ + ... 0^4 = 0 пулевой строки;
• перестановка уравнении или слагаемых «|;л, в уравнениях;
¦ прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения лой системы, умноженного на любое действительное число;
« удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы.
1.4.2. Матричная форма системы уравнений
Сведем коэффициенты при неизвестных н системе уравнений (1.35) в матрицу
(1.36)
Эта матрица состоит из т строк и л столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение, две матрицы-столбца; матрицу неизвестных А' и матрицу свободных членов В (векторы-столбцы)
X =
Ii
і Д.
(1.37)
Тогда систему линейных уравнений (1,37) можно записать и матричной форме, поскольку размер матрицы А равен дахл, а размер X— л X 1, и значит, произведение этих матриц имеет смысл:
ДА' = Я. (1.38)
34 Глаеа 1. Элементы линейной алгебры
Произведение матриц AX является, как и O, матрицей-столбцом размера отк I, Все уравнения системы (1.35) вытекают ил уравнения (L.38) Q силу определения равенства двух матриц (см, 1.2.1). Введем в рассмотрение еще одну матрицу: дошил ним матрицу системы А столбцом свободных членов и подучим новую матрицу размера т * (л + 1 ):
її
л,.
К)
(1.39)
Матрица АЁ называется расширенной матрицей тшемы. Эта матрица траст важную роль в вопросе о разрешимости системы уравнении.
Теорема 1.5 (Кронексра — Капеллгг: критерии совместности системы). Система линейных уравнении совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы. Определение 2І. Рангом совместной системы линейных алгебраических уравнений называется ранг ее матрицы,
1.5. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
1.5.1. Метод обратной матрицы
В том разделе мы рассмотрим частный случай системы (1.35), когда число уравнении равно числу неизвестных, т. е. т = п, Система уравнений имеет вид
«,,.т. = b..
H11J1 + O12-T., н
(1.40)
Квадратная матрица А порядка п этой системы получается из матрицы (1.36) при т = п.
В матричной форме система уравнений (1.40) имеет вид (1.38). Пусть матрица системы А является невырожденной, т. е. существует обрат-
1.5. Методы решений систем линейных алгебраичвских уравнений 35
нал матрица А'\ Умножим обе части этого уравнения слева на А получаем решение системы (1.40) в матричной форме:
X = A-1B. (141)
Вычисление обратной матрицы по заданной матрице ,4 производится но цшюдьно сложным формулам. В случае, когда порядок п матриц А и Л'1 достаточно велик, нахождение обратной матрицы может быть довольно трудоемким процессом.
1.5.2. Метод Крамера
Другой метод решения системы уравнений (1.40) основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы системы А:
|(7ц в., ¦¦¦ Я.„
а,
А =
о ап о,, а.,г
(U2)
который назыиаегся также определителем системы.
Теорема 1.6 (правило Крамера). Пусть Д — определитель матрицы системы A1 а Д; - определитель, полученный на определителя Д заменой /-го столбца столбцом свободных члепоп В. Тогда, если Д * 0, то система линейных уравнений (1,40) имеет единственное решение, определяемое по формулам
Д, / Д,
J=I, 2..... п. (1.43)
Формулы вычисления неизвестных (1.43) носят название формул Крамера.
Пример 11. Найти решение системы уравнении
X + 2у + г = і і 2х + + 2г = 2. х-у + 3г=0.
Решение, Составим и вычислим определители системы Д и Д, (J = X1 у, г):
2 1
3 2 -1 3
= -2,
2 1
3 2 -1 3
= -3,
36 Глава 1. Элементы линейной алгебры
1 1 1
2 1
2 2 2
= 0,
Д. =
2
2 3 2 I -I О
= L
I О 3
Определитель системы отличен от нуля, стало быть, она имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам (1.43):
X = Д, / Л = 3/2, ;/ = \ / Л = 0, z = Д, / Д = -1 /2. 1.5.3. Метод Гаусса
Следует заметить, что как метод обратной матрицы, так и метод Крамера являются весьма трудоемкими но количеству вычислительной работы. Оба они требуют порядка ттн! арифметических действии для нахождения решении системы линейных уравнений. При п = 5 это составит около 3000 действий, при Jt = 10 —около 3,6- 10" действий. При решении серьезных задач приходится иметь дело с системами уравнений порядка n = 100 и более. При таких масштабах даже суперкомпьютерам потребуется долгое время .тля вычисления решения. Кроме того, погрешности компьютерного округления чисел приводят к значительным ошибкам я расчетах численного решения систем уравнений большого порядка. Мерклу тем существуют более экономичные методы решения систем линейных уравнений, основанные на предварительном преобразовании расширенной матрицы системы к специальному виду. В частности, одним из них является метод Гаусса, практическую реал ii;j;j. цію которого мы приводим далее.
Рассмотрим систему уравнении общего вида (1.35). Пусть для определенности «и # 0 (если яи = 0, то можно переставить на первое место ненулевое слагаемое или начать с другого уравнения). Умножим первое уравнение системы (1.35) на число я31/«ц и иычгем его из второго уравнения этой системы. Затем умножим обе части первого уравнения на число avJau и вычтем его из третьего уравнения и т. д.—т. е. пронесе заключается н последовательном вычитании первого уравнения, умножаемого на числа а11/ии, из і-го уравнении (і= 1. 2. 3..... п). Таким образом, в результате .элементарных преобразований мы получаем эквивалентную систему в которой, начиная со второго уравнения, отсутствуют слагаемые, содержащие неизвестное Jt",:
