Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 85
688
1 • 8 + 3 • 9 = 5 • 7; 19 + 37 = 56,
+
§ 9. КАК МЫ ДУМАЕМ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
9.1. Пусть Р и Q — середины двух дорог из Л в В (рис. 86). R — точка, делящая пополам кольцевой маршрут YY; а, Ь, с, d — расстояния \АХ\, \ВХ\, \AY\, \BY\.
84
о
Q
Рис. 86
Рис. 87
По условию с < d и город X лежит, очевидно, на участке PRB (иначе XAY короче XBY). Кроме того, по выбору точек Р, Q, R участки PR и QY равны и | RB | = \AY\==>b < с. Участки а и d больше половины пути из Л в В, с меньше этой половины, поэтому с < а и с < d. По условию а + b = с + d. Так как b <с, то а < d. Итак, 6 < с < d < а.
9.2. Рассмотрим взаимное расположение подмножеств А и В.
1) А а В, 2) В а А, 3) А = В, 4) А Г) В = 0, 5) Л П В Ф 0.
Анализируя эти случаи, находим, что условие задачи выполнено, если X = В; проверим:
Частный случай, когда А — В = X.
9.3. a) \DP\=\PB\, \АР\=\РС\, значит, [DP] и [BP] —медианы треугольников ACD и ЛВС (рис. 87).
б) [AF] и [АЕ] также медианы этих треугольников, и потому, по свойству медианы треугольника, имеем |ВЛ4| — 2 |РЛ4|, \DK\ = = 2 \КР\, следовательно, \ DP\ = \ DK\ + I КР\ = 3 | КР\, а | РВ\= = \ РМ\ + \ВМ\ = 3 |РЛ4|.
в) |DP| = |РВ|, откуда \ КР\ = \РМ\, итогда|Л/(|= |/СЛ4| =
= \вм\.
9.4. Рассмотрим случай уплаты денег четырьмя пассажирами из 25. Наименьшее число монет таково: I — 20, II — 15, III — (10 + 10), IV — 15; соответственно сдача будет такова: 15, 10, 15, 10. Если мы увеличим число пассажиров в 6 раз, то 24 пассажира уплатят за проезд 20 • 6 к. = 120 к. Оставшийся пассажир положит в кассу 15к.+ Ю к. и возьмет 20 к. сдачи. 32 монеты есть наименьшее число монет, необходимых для оплаты проезда, так как сумму денег 1 р. 25 к. составит в этом случае наименьшее возможное число монет — 7 монет: 5 • 20 + 15 + 10.
9.5. Пусть п — число прямых, N„ — число частей, на которые плоскость разделилась п прямыми.
Рассмотрим несколько случаев для п (рис. 88, а, б, в, г).
Из рисунка 88 видно, что Nп — Зп — 2. Значит, N100 = 298.
9.6. Прямая, пересекающая (п — 1) прямые и проведенная параллельно n-й прямой, увеличивает число N на п (см. чертежи к задаче 5).
Значит, надо провести 101-ю прямую, пересекающую 99 прямых, параллельно 100-й прямой, чтобы число N увеличилось на 100.
9.7. Вариант А
1. у : х = 1, так как у: у=умх-х = х возможно только при у = 1 и х = 1.
85
п=6, Ne=16
г)
Рис. 88
2. 30.
3. Верно. Распределительный закон умножения (на —1) относительно вычитания и переместительный закон.
4. Сколько времени прошло от начала суток? х ч прошло от на-
х
чала суток; — ч осталось до конца суток.
х + ^ = 24=Фх = 21.
7
5. * — число 3-рублевых денежных знаков (рублевых; 5-рублевых).
х + 3* + 5* = 90 => х = 10.
Сумма, представленная 3-рублевыми знаками, 3 • 10 =30 р.
6. 17(76)21.
Правило: (12 + 16) • 2 = 56, (17 + 21) • 2 = 76.
Вариант Б
х (х — 1) > 0 => х < 0 или х > 1.
1. х2 — х > 0
2. 30.
3. 100, так как четных чисел, которые могут стоять на первом месте в числе, четыре (2, 4, 6, 8); на 2-м и 3-м местах — пять (0, 2, 4, 6, 8).
25 чисел, у которых на первом месте стоит 2. Для 4, 6, 8 тоже по 25 чисел. Всего 100.
4. В шахматном турнире приняли участие 5 школьников. Каждый должен сыграть со всеми остальными. Сколько матчей будет
проведено в этом турнире (рис. 89)? Ответ: 10 матчей.
5. Пусть х — число рублевых (3-рублевых или 5-рублевых) денежных знаков.
20 < х + Зх + 5* < 30 => х = 3. В кассе 27 р.
6. х = 35, так как 1 + 7 =8; 8 + + 8-16; 16 + 9 = 25; 25 + 10 = 35.
86
§ 10. ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ
10.3. Смотри решение этой задачи в тексте § 11.
10.4. Например: «Какой формы лист фанеры дает большую экономию материала при выпиливании из него дна для бочки?»
Ответ. Теоретически—правильный «-угольник. Чем больше п, тем больше экономия материала. Практически — квадрат, так как шестиугольник, двенадцатиугольник и т. д. тоже еще надо вырезать.
10.5. Минутная стрелка пробегает мимо 60 делений циферблата за то же самое время, за которое часовая стрелка проходит 5 таких делений. Следовательно, маленькая стрелка движется (60 : 5) в 12 раз медленнее, чем большая. Большая пройдет 1 деление, а
маленькая--- деления. Значит, за 1 мин большая опережает
маленькую на II — — — деления. 5 : — = — (мин) — большая
догонит маленькую.
Ответ: командир должен вскрыть конверт в 1 ч 5 мин 27— с.
Можно составить серию задач, пользуясь «методом» «А нельзя ли...?».
Приведем пример одной из таких задач. «Известно, что минутная
3 *
и часовая стрелки совпадают в 12 ч, в 1 ч 5 мин 27— сит. д.'А нельзя ли узнать, когда они направлены в противоположные стороны?»
Решение. Разность между оборотами, сделанными минутной и часовой стрелками, равна — полного оборота, взятого нечет-
ное число раз, t — —t = — (2п — 1); t = — (2п — 1) (ч), п — = 1, 2, 3...
10.6. Докажите сначала, что если в А ABC соединить основания высот, то получится треугольник, для которого стороны и высоты данного А ABC являются биссектрисами внутренних и внешних углов.
