Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. КАК НАЧИНАТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
3.1. I с п о б о б. Провести две произвольные прямые АВ и CD, пересекающие стороны угла (рис. 70).
* Запись 111...1 объяснена на с. 26.
Рис. 70
78
Построить биссектрисы двух углов в получившихся треугольниках АВК- и CD К (К — вершина, которой нет на рисунке).
о и 01 — точки пересечения биссектрис.
(OOi) — искомая биссектриса (направление полета). Правильность этого построения докажите самостоятельно.
II с п о с о б*. 1) (А В) || (MN) (рис. 71);
2)
\АО\ \0В\
\АМ\ \NB\
\MOt\ l<WI
I AM I m \NB\'
3) (00x) — биссектриса.
3.2. После очевидных преобразований данное уравнение приводится к виду х2 (a-b) — x(a — Ь) (а + Ь) = 0.
Если а — Ь, то уравнению удовлетворяет любое число. Если а Ф Ь, то корни уравнения хх = 0 и х2 = а + Ь; поэтому корень будет единственным только при а ф Ъ; а ф Ь и а + b = 0, т. е. при а = -Ъ Ф 0.
3.3. Решим сначала частную задачу. Где следует построить переправу через
канал, чтобы пункты А и В были соединены кратчайшим путем?
Допустим, что пункты А и В расположены так, как показано на рисунке 72. Выполним параллельный перенос точки А в направлении \ААХ) на расстояние d (где d — ширина канала). Строим прямую (/4ХВ), эта прямая пересекает канал в точке D. Строим [CD], перпендикулярный сторонам канала. Путь ACDB искомый.
Теперь решаем искомую задачу (рис. 73).
Строим образ точки В при параллельном переносе, отображающем точку М на - точку Р, затем образ точки Вх при параллельном переносе, отображающем /С на L, Путь ACDEFB искомый.
3.4. EMD = 180° — (р + (90° — р)) = = 90° (рис. 74).
| ЕМ | = | MD | (как диагонали конгруэнтных прямоугольников), а значит, AEMD
прямоугольный и равнобедренный. MDE = = а=45°, у + р1 = а = 45°. Откуда a+f>+ + у = 90°.
Рис. 73
К
М
1-*-1
1т"' о /
/ И"
V
-*--
v / А-
—*-
Рис. 74
79
§ 4. РЕШАЙ ВМЕСТО ОДНОЙ ЗАДАЧИ ДРУГУЮ
4.1. Используя частные задачи (рис. 22), например б) и в), составим следующую задачу: «Найти множество точек, равноудаленных от сторон угла и от концов отрезка, принадлежащего этому углу».
4.2. Частное решение: если точки А, В, С, D расположены так, как показано на рисунке 75, то искомой точкой является точка S (пересечение срединных перпендикуляров к отрезкам [АВ], [ВС], [CD]).
В общем случае задача не имеет решения.
4.3. См. рис. 76. _ _
4.4. П. з. (типа «дети»)—для двузначного числа: 5 ab = Ьа, откуда 50а + ЪЬ = 106 -f- а, или 49а = ЪЬ. Для самого малого значения а= 1 и самого большого значения Ь= 9 имеем 49= 45. Задача не имеет решения среди двузначных чисел.
П. з. (типа «родители»). Показать, что не существует натурального числа, которое при перестановке начальной цифры его записи в ее конец увеличится в 5 раз.
В самом деле, так как при увеличении числа в 5 раз число цифр его не изменяется, то первая цифра записи этого числа есть 1.
Если же 1 станет последней пифрой его записи, то число не может делиться на 5. Утверждение доказано. Более общую задачу оказалось решать легче.
4.5. Из условия задачи легко обнаружить, что требуемая ситуация должна удовлетворять двум условиям:
1) вышка должна находиться на одинаковом расстоянии от дороги и от озера;
2) озеро должно быть видно с вышки под прямым углом.
Теперь нетрудно составить две подзадачи, родственные данной:
п. з. (1). Построить точку, равноуда-р ленную от двух прямых (дороги и озера); • п. з. (2). Построить точку, из которой данный отрезок (озеро) виден под прямым Рис. 76 углом.
80
подзадач решается дорога
а) г Озеро Отрезок дороги и йерег озера параллельны
Отрезок дороги и Ь~ерег озера не параллельны
Рис. 77
Каждая из этих довольно легко.
Решение п. з. (1) — это не что иное, как решение первой задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе. Вспомним: построить прямую, равноудаленную от двух данных (рис. 77).
Сколько решений имеет подзадача 1?
Решение п. з. (2). Искомая точка (вышка) должна находиться на окружности, построенной на данном отрезке (озере), как на диаметре (рис. 78, а).
Сколько решений имеет п. з. (2)?
Теперь надо взяться за решение нашей задачи: здесь оба требования должны соблюдаться одновременно. Но тогда искомая точка должна находиться одновременно как на биссектрисе угла, образованного двумя прямыми (озером и дорогой), так и на окружности из п. з. (2). Это может произойти только в случае их взаимного пересечения (рис. 78, б).
§ 5. РАССУЖДЕНИЕ ПОМОГАЕТ ДОГАДКЕ
5.1. Из хг + х + 1 = 0 следует, что (** + х + 1) (х — 1) = 0, т. е. х3 — 1 = О, или х3 — 1. Поэтому / (а'0) = 1979 при
3 1
хо = 1.
5.2. Предположим, точек пересечения" две*. Докажем, что прямых будет только три. Действительно, пусть имеется всего две точки пересечения С и D и пусть а и Ь — прямые, пересекающиеся в точке С, a d — прямая, не проходящая через С (такая прямая есть, иначе все прямые пересекались бы в С).
Прямая d пересекает лишь одну из прямых а, Ь, скажем а, в точке D, другой прямой Ь она параллельна (рис. 79, а).
