Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
13.60. Пусть IV = {1, 2,3, п, ...} — множество всех натуральных чисел.
а) Доказать, что объединение трех множеств
М, = {3, 6, 9, 12, Зп,...}; Мг = {2, 5, 8, 11, Зп — 1, ...} и М3 = {4, 7, 10, 13.....Зп + 1, ...}
представляет собой множество всех натуральных чисел, кроме 1.
б) Доказать, что множество всех натуральных чисел (кроме 1), не кратных числу 3, имеет вид
М3 = {4, 7, 10, 13..... Зп + 1, ...}.
13.61. Привести примеры различных графиков А и В, для которых А ° В = В ° А.
13.62. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
13.63. Для каких нату ральных п числа пъ + п + 1 и п11 + п + 1 являются простыми?
13.64. Даны три множества Ах, А2, А3, и для каждого п ^ 4 определяется множество Ап = Ап_х П (Ап_2 U Ап_3). Найти множество А10.
13.65*. Доказать, что в любой компании из шести человек всегда найдется либо трое знакомых друг с другом, либо трое незнакомых друг с другом. (Два члена А и В компании считаются знакомыми друг с другом, если А знаком с В, а В знаком с С.)
13.66*. Из целых чисел от 1 до Зп выбрали п + 2 каких-то чисел. Доказать, что при n > 1 среди выбранных чисел непременно найдутся два таких, разность между которыми больше п, но меньше 2л.
13.67. Упростите выражение 60 (619 + 618 + 6Г + ... + 612 + + 62) + 1.
13.68. Доказать, что если — = — = —, то р = q = k.
акр
13.69. Даны множества
А = {а, Ь, с, d), В = {а, Ь, 4}, С = (4, 2, с}, D = {а, Ь, 3},
Е= {1,Ь}.
Найти а, Ь, с, d, зная, что В cz А, С cz A, D cz А, Е cz В.
13.70. Чему равно значение выражения а17 — 8а1в + 8а15 — — 8а14 + ... — 8а2 + 8а + 8 при а = 7?
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
§ 1. КАКИЕ ЗАДАЧИ МЫ НЕ УМЕЕМ РЕШАТЬ
1.2. а) х2 — Зх — 7х + 21 = х (х — 3) — 7 (х — 3) =
= (х — 3) (х — 7); (х — 3) (х — 7) = 0, откуда х = 3, х =
б) г* _ 2 • 1 • * + - - - + 2 = (х - -У* + (2 - -
-(*чЫ=(*4'ч-ч*--5'--7-4
Это уравнение в множестве действительных чисел не имеет решения, т. е. множество корней составляет пустое множество.
1.3. При решении примените свойства осевой симметрии.
1.4. Занумеруем мешки цифрами 1, 2, 3,..., 10. Возьмем из 1-го мешка 1 монету, из 2-го мешка — 2 монеты,5 из 3-го мешка — 3 монеты и т. д. Выбрано 55 монет. Их масса должна быть равна 550 г (если бы все монеты были настоящими). Но среди монет есть фальшивые, поэтому их истинная масса/и > 550. Разность т — 550 укажет, в каком мешке монеты фальшивые; например, при т = 553 г имеем 553 — 550 = 3 (номер мешка).
1.8. Одно из решений: «Солдат с собакой прошли мимо пролома в заборе».
§ 2. УЧИСЬ НА ЗАДАЧЕ
2.2. Перечертите рисунок 5. Убедитесь в том, что А М А В и Д MCD не будут лежать «внутри» четырехугольника ABCD.
2.3. 1 + 1 =i±i.
х у ху
Наибольшего значения произведение ху достигает при условии, что х = у, если сумма х + у есть величина постоянная.
Из условия х + у = 6 следует, что х = у = 3. Дробь х-^-? праху
мет наименьшее значение при постоянном числителе, если знаменатель достигает наибольшего значения, т. е. если х + у = 6,
„62 то ху = 9 и — = —. 1 9 3
2.4. Теорему, которую мы использовали при решении задачи 3, можно применять и для трех переменных х, у, г:
1 + 1+1 = уг + хг + ху хуг хуг
77
xyz примет наибольшее значение, если х — у = z = 3, так как
х + у + 2 = 9.
~ , 3- 3 + 3. 3 + 3 • 3 , Таким образом,--—-—--= 1.
2.5. Мы знаем, что точный квадрат в разложении дает А2 ± ± 2АВ + В2. В рассматриваемой сумме можно предположить В2 = 1, значит, нам надо доказать, что
п(п+ 1) (п + 2) (л + 3) + 1 = А2 ± 2А + 1.
Первое слагаемое Л2 ± 2Л представить в виде А (А ± 2). Выберем для умножения «удобные» пары множителей: п (п + 3) и (л + 1) (л + 2), чтобы в выражении А (А ± 2) выделить Л: (л2 + Зл) (л2 + Зл + 2).
Задача решена!
л (n + 1) (/I + 2) (п + 3) + 1 = (/г2 + Зп)2 + 2 (л2 + 3/г) + + 1 = (п2 + Зл + I)2.
2.6. I способ. Разложим лг3 — m на множители m3 — m = = т (т2 - 1) = m (лг — 1) (т + 1).
Расположим числа по порядку: (т — 1) т (т + 1). Но тогда задача решена: из трех последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 3, а значит, делится на 3 и все произведение.
II способ. Мы знаем, что если число делится на 3, то его можно записать в виде т = 3ft. Если же число не делится на 3, то при делении может быть в остатке или 1, или 2, тогда число можно записать в виде т = 3k + 1 или т = 3k + 2.
Рассмотрим первый случай. Пусть т ~ 3k, тогда
m» — т= (3ft)3 — 3k = З3 • k3 — 3k = 3 • (З2 • k3 — k) : 3.
Рассмотрим второй случай: гп = 3 /е + 1, подставим значение m в данное выражение
m3 — т = (3ft + I)3 — (3ft + 1) = 27ft3 + 27ft2 + 9ft + 1 — — 3ft — 1 = 27ft3 + 27ft2 + 6ft = 3(9ft3 + 9ft2 +2ft) ! 3.
Рассмотрим третий случай: m = 3ft + 2.
(3ft + 2)3 - (3ft + 2) = 27ft3 + 54ft2 + 33ft + 6 = _ = 3 (9fe3 +18fe2 + lift + 2) J 3.
2.7. 123... ft • 9 + (ft + 1) = 111...1*.
k + 1 раз
Возможные задачи: а) доказать это равенство; б) какие, аналогичные данному, свойства натуральных чисел вам известны и т. п.
