Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
13.30. 3 + 1,5 = 3 • 1,5. Найти другие числа, обладающие этим свойством.
13.31. Составить из цифр от 0 до 9 пять двузначных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим.
13.32. Можно ли ходом шахматного коня попасть из левого нижнего угла шахматной доски 8 X 8 в правый верхний угол, побывав на каждой клетке доски ровно один раз?
13.33. Имеется 12 шаров одинакового диаметра и внешне неотличимых друг от друга. За исключением одного шара масса шаров
73
одинакова. Тремя взвешиваниями на рычажных весах найти этот шар.
13.34. Бактерии имеют такой закон развития: каждая бактерия л-л нет един час и каждые полчаса порождает новую бактерию (все-ю дне бактерии га свою жизнь). Сколько бактерий будет через i ч?
13.35. В (городе n имеется 10 ООО телефонов с четырехзначными номерами. В центральном районе города — более половины всех телефонов. Доказать, что хотя бы один из номеров центральных телефонов раг.ен сумме номеров двух других центральных телефонов.
13.36. Течка А находится внутри шести окружностей. Доказать, что центр хотя бы одной окружности лежит внутри какой-либо из остальных.
13.37*. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Известно, что высоты треугольника пересекаются на этой окружности. Найти угол при основании треугольника.
13.38. В центре поля, имеющего форму квадрата, находится волк, в вершинах его —^собаки. Волк может справиться с одной собакой, две собаки справляются с волком. Скорость бега любой собаки равна 1,5 скорости бега волка. Доказать, что у собак существует возможность не выпустить волка за границы поля.
13.39. Даны равенства:
29 + 92 = 121
47 + 74 = 121
Как записать в общем виде закон, который в них проявляется? Какую задачу можно сформулировать в связи с этим законом? Найти все двузначные числа, обладающие этим свойством.
13.40. Доказать, что если A BCD — прямоугольник, то для любой точки М справедливо отношение |/ИЛ|2 + |МС|а = \МВ\2 + + \MD\2.
13.41*. На сторонах некоторого четырехугольника построены квадраты. Центры квадратов соединены отрезками; образовался другой четырехугольник. Середины диагоналей исходного и полученного четырехугольников соединены отрезками. Установить вид полученного четырехугольника.
13.42. В круге проведены два радиуса. Построить хорду, делящуюся ими на три равные части.
13.43. Плоскость покрыта сеткой квадратов. Можно ли построить правильный треугольник, вершины которого находились бы в углах этой сетки?
13.44*. Дана треугольная пирамида, у которой плоские углы при вершине прямые. Доказать, что
1) площадь каждой боковой грани есть среднее геометрическое между площадью проекции этой грани на основание пирамиды и площадью основания пирамиды;
74
2) сумма квадратов площадей боковых граней пирамиды равна квадрату площади ее основания.
13.45*. Найти действительные решения системы уравнений
t х3 + у3 — z3*'— хуг = —4, \ х3 — у3 + 23 — хуг = —8, I —х3 + у3 + z3 — хуг = —2.
13.46. Найти все решения системы уравнений
/ 2х2 — ху — у2 — 4л- + 4у = О, ( з? + ху — 2у2 — 5'л- + 5у = О
и изобразить их в координатной плоскости.
13.47. Доказать двойное неравенство < У ab < °l^Ji
а-\- b 2
{а и b — действительные положительные числа). Какие практические приложения может иметь это неравенство?
13.48*. В пространстве даны две скрещивающиеся прямые / и V, на которых отмечены отрезки \АВ\ = а и \CD\ = b. Доказать, что объем тетраэдра ABCD не изменяется при перемещении отрезков АВ и CD по прямым / и
13.49*. Сосуд, имеющий форму полушара, наполнен водой, а затем наклонен на угол, равный 45°. Какая часть воды останется в сосуде?
13.50. Доказать, используя векторы, что высоты треугольников (или прямые, которым они принадлежат) пересекаются водной точке.
13.51. Соединены середины сторон прямоугольника. Определить вид полученной фигуры.
13.52. Построить параллелограмм по серединам четырех его сторон. Можно ли построить ромб по четырем серединам его сторон? Нельзя ли построить ромб по серединам трех его сторон?
13.53*. Тысяча точек являются вершинами выпуклого тысяче-угольника, внутри которого расположено 500 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезается на треугольники, вершинами которых являются только данные 1500 точек: Сколько получается треугольников?
13.54. Установить, задает ли равенство | у — 11 = х + 1 отображение множества
X = {х/х > 1}
на множество
У = {у/у > -з}.
13.55. Длины сторон первого разностороннего треугольника р,
к, а, а второго — р', W, а'. Известно, что — = 3, — = 3, —фЗ.
р k q
Могут ли эти треугольники быть подобными?
13.56. Вычислить значение выражения 5у~~* + 2х~у есЛи извест-
F Зх+у Зх-у
но, что 1 Ол;2 — Зу2 + 5л;у = 0 и 9л;2 — у2 Ф 0.
75
13.57. Составить формулу, определяющую функцию
(/) = ГО при / < с т w \t — с при t > с.
13.58. Перемещение ф не имеет неподвижных точек. Имеет ли иеподеижные.точки композиция ф ° ф?
13.59. В прямоугольной системе координат рассматривается прямая, заданная уравнением ах + by + с = 0. Найти расстояние от начала координат до этой прямой.
