Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
(/ _ х2)2 — z2 (2*2 + 2у2 — z2)
на линейные множители.
13.6. Имеется конечное множество фигур (квадратов, треугольников, кругов). Пара фигур множества зачеркивается и заменяется одной из данных фигур последующему правилу: (А, О) = А; (?, 0)=П; (О, 0)-=0,(Д, ?) = О; (?, D)=A;(A, Д) = ?. Доказать, что форма оставшейся фигуры не зависит от порядка выбора пар для очередного зачеркивания. Найти способ наиболее быстрого нахождения формы оставшейся фигуры.
13.7. I3 + 23 + З3 = (1 + 2 + З)2. Доказать, что других натуральных чисел, удовлетворяющих условию х3 + у3 + г3 = = (х + у + z)2 не существует.
13.8. Премировано а участников областной математической олимпиады, b участников городской олимпиады и с участников рай-
71
оннрй олим^и-ады. Найти значения а, Ь, с, если известно, что каждое из этих чисел-является простым, а все они связаны соотношением а + 8 = b (b + с).
13.9. Какую линию образует множество центров прямоугольников, вписанных в данный треугольник ABC так, что две вершины каждого прямоугольника лежат на стороне АВ, а две другие — на других сторонах треугольника.
13.10. При делении некоторого натурального числа на 45 остаток равен квадрату частного. Установить делимое.
13.11. Известно, что | АВ\ = 3, \АС\ = 4, AB _|_ АС. Найти:
\ВС\; \АВ\+\АС\; 12 | АВ\ + 12 | ВС\ — 12 | АС\.
13.12. а) Дан произвольный четырехугольник. Докажите, что плоскость можно покрыть без пропусков и наложений четырехугольниками, конгруэнтными данному.
б) Существует ли такой пятиугольник, копиями которого можно замостить плоскость?
в) Тот же вопрос для пятиугольника, никакие две стороны которого не параллельны.
13.13. Найти значения и и v такие, чтобы функция / (х) = —х2 + + их + v имела при х = 1 наибольшее значение, равное 4. Построить график этой функции.
13.14. Найти трехзначное число, равное сумме всех двузначных чисел, которые могут быть образованы цифрами искомого числа.
13.15. Пусть ABCDEF — выпуклый шестиугольник. Известно, что [ВС] I! IFE] || IAD], ЮС] || \AF] || [BE] и [ED] || [ВА]. Доказать векторным методом, что [CF] || [ВА].
13.16*. Функция /(*) = — обладает весьма интересным свой-
x
ством / (/ (х)) = х. Попробуем отыскать другие функции, обладающие этим свойством.
13.17*. Найти функцию, удовлетворяющую условию f (х) —
— af (|—j = а*. Установить области изменения и определения этой
функции и построить ее график при а = 2.
13.18. Все целые числа произвольным образом разбиты на два множества. Доказать, что хотя бы в одном из этих множеств найдутся три числа такие, что одно из них есть среднее арифметическое двух других. х2 — 4 ^ g_ х
13.19. Решить графически уравнение* — 2
13.20. На плоскости даны 5 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены «красным» или ;<синим» отрезком; при этом никакие три отрезка не образуют треугольника со сторонами «одного цвета».
Доказать:
1) из каждой точки выходят два «красных» и два «синих» отрезка;
2) «красные» отрезки образуют замкнутую ломаную линию, проходящую через все эти точки.
72
13.21. Доказать, что число а = 2 • 74*+| + 3 • (1 -f 74л) кратно 10 при всяком целом неотрицательном п.
13.22. Если — — несократимая дробь, то дробь —_+*— так,
Ь о? +ab + ба
же несократима. Доказать.
13.23. Город расположен на берегу реки; пляж находится на расстоянии s км от города против течения реки. Какое максимальное время нужно затратить для проезда на катере до пляжа и обратно и на ожидание катера, если техническая скорость катера v км/ч, скорость течения реки t)j км/ч и стоянка катера у пристани не более t мин.?
13.24. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 2 и 4%. Из этого лома получается сплав, содержащий 2,5% никеля. Выразить зависимость (формулой и графиком) между массами лома одного и другого сорта, идущими на приготовление сплава.
13.25. В трапециях с основаниями х и 3 выразить как функцию от х расстояние между серединами диагоналей. Построить график этой функции. Узнать, при каком значении расстояние между серединами диагоналей равно 1.
13.26. [АВ] и [CD] — два взаимно перпендикулярных диаметра окружности. Точка М движется по полуокружности, которая не содержит точки D. Из точки D опущены перпендикуляры [DE) J. (МА) и [DP] J_ (MB). Какую линию образуют точки пересечения диагоналей четырехугольника DEMP в процессе движения точки М?
13.27*. При каких значениях х дробь D = - приин-
2х2—Ах-f 3
мает экстремальные значения? Найти эти значения дроби D.
13.28. Внутри данного угла отмечены две точки А и в. Построить равнобедренный треугольник так, чтобы вершина его находилась на одной стороне этого угла, основание треугольника — на другой стороне этого угла, а каждая из боковых сторон проходила соответственно через точки А и В.
13.29. Окружность касается извне стороны равностороннего треугольника и «катится» по нему без скольжения. Сколько полных оборотов сделает эта окружность к моменту возвращения в исходную точку, если длина стороны треугольника равна длине окружности? Сколько оборотов сделает при тех же условиях окружность, если она «катится» по сторонам ромба?
