Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
Важно также, оформляя детальное решение задачи, одновременно корректировать его правильность соотнесением с условием и целью задачи.
На заключительном этапе процесса решения задачи (на этапе проверки правильности полученного решения, систематизации знаний и опыта) полезно действовать так:
1) Изучите найденное вами решение задачи. Сделайте грубую прикидку правильности результата решения задачи, соотнеся его с ее условием (и здравым смыслом). Проследите обоснованность каждого шага решения задачи, Подумайте, нельзя ли решить задачу другим способом. Помните, что получение того же результата другим способом — лучшая проверка правильности решения.
2) Попытайтесь отыскать способ решения задачи более экономичный, чем найденный, более общий, более изящный и т. п. (новый способ решения задачи часто открывает новый путь решения аналогичных задач, обогащает опыт решающего задачу).
3) Исследуйте особые случаи решения данной задачи; соотнесите результат решения с предельными значениями отдельных ее элементов. Обобщите результаты решения данной задачи, подумайте, при решении каких задач их можно было бы применить.
4) Изучите еще раз саму задачу, способ ее решения и результат. Выявите то полезное, ради чего стоило решать данную задачу (что важно знать, уметь и помнить).
5) Обратите особое внимание на те теоретические положения, особенности задачи и т. д., которые явились ключевыми для отыскания данного (или других) решения задачи.
69
Заданна для самостоятельной работы
Поупражняйтесь в практическом использовании данных вам советов на решении следующих задач.
12.1. В произвольном А ABC проведены высоты, основания которых соединены отрезками прямых. Доказать, что высоты треугольника ABC будут биссектрисами образовавшегося треугольника AxBfix (рис. 68).
12.2. В треугольнике ABC (рис. 69) проведены высоты [АК\ и [ВН]; О — центр описанного круга. Доказать, что ЮС\ ± \КН\.
12.3. В каком направлении нужно ударить шайбу (s), чтобы она, стукнувшись о бортик площадки, отлетела в правый дальний угол ворот?
12.4. Чему равно значение выражения x3J — 74x30 + ТАх™— ... + 74х17 - 74х16 + 73а-15 + 15 при х = 73?
12.5. При каких натуральных значениях п уравнение (с переменными х и у) пх3 + ху — 61п = 0 имеет единственное решение — натуральное число?
§ 13. ПОПРОБУЙТЕ РЕШИТЬ ЭТИ ЗАДАЧИ
Предложенные здесь задачи различны не только по содержанию, но и по трудности их решения. Впрочем, трудна данная задача или легка, судить может лишь тот, кто решал ее. Может случиться и так, что задача, казавшаяся нам трудной, будет решена кем-то из вас без особого труда (тогда честь и слава вам!). Если учитель
предоставил свободу выбора вам, то пользуйтесь этой свободой в полной мере; выбирайте задачу по душе и готовьтесь к бою. (Кто кого? Она — вас или вы ее одолеете?) Задачи расположены здесь без какой-либо определенной системы. Как ни удивительно это звучит, в этом «беспорядке» заложена определенная система обучения решению задач. Продумайте это утверждение. Звездочками отмечены задачи, при решении которых необходимо знать учебный материал по курсу математики IX— X классов. Впрочем, почти для всех этих задач, за исключением стереометрических задач, существуют такие решения, для нахождения которых вам будет достаточно имеющихся у вас знаний (может не хватить опыта и умения). Если нам неизвестны эти решения, то, это не значит, что они не могут быть найдены вами. Если условие задачи вам понятно, принимайтесь смело за ее ре-Рис. 69 шение. В сомнительных случаях обращай-
Рис. 68
70
тесь к учителю. Хотя явно здесь приведено 70 различных задач, но невозможно сосчитать, сколько интересных задач можно составить, видоизменяя условия данных задач или используя «метод» «А нельзя ли...?». Помните об этом и испытайте себя в роли автора новой задачи.
Пожелаем вам удачи!
13.1. Какое четырехзначное число нужно приписать справа к числу 400, чтобы получить число, являющееся полным квадратом?
13.2. Доказать, что три многочлена
zx = 2х — Зу — 5, z2 = Зх — \у — 8, г3 = —13* + 18у + 2
не могут все вместе иметь положительные значения при одних и тех же значениях х и у.
13.3. Дан треугольник ABC с прямым углом СМ — середина гипотенузы. На (СМ1, как на диаметре, построена окружность, пересекающая стороны треугольника СВ и СА в точках Р и К соответственно. Предположим, что точки В и А закреплены, а точка С перемещается в плоскости так, что величина угла АСВ остается равной 90°.
1) Как изменяется отрезок /СР?
2) Какие линии описывают точки К и Р при движении точки С?
13.4. На оси абсцисс Ох езяты точки А, В, D и Е с координатами (2; 0), (8; 0), (4; 0), (—4; 0) соответственно. Пусть точка М принадлежит окружности диаметра DE, но не принадлежит Ох, и пусть точка К — точка пересечения этой окружности с отрезком MB.
Доказать:
1) треугольник ОАМ подобен треугольнику ОВМ;
2) точки М, К, О, А принадлежат одной окружности (точка О — начало координат).
13.5. Разложить алгебраическое выражение
