Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что трапеция A'B'C'D' тоже удовлетворяет условию задачи (рис. 64). [В'К'\ — высота этой трапеции. \ВК] ф [В'К'\. Значит, трапеций по указанным в условии данным можно построить не одну. Высоты этих трапеций будут различны.
Какие же значения может принимать высота трапеции, удовлетворяющей указанным свойствам? По всей непоятности, она будет определяться величи-налщ а и Ь.
Для того чтобы убедиться в этом, попробуем найти зависимость \ВК\ от а и h.
а) [ВК] является высотой в AABD с основанием а (ничего полезного);
б) [ВК] является высотой в ААВС с основанием Ь (аналогичный случай);
в) А нельзя ли нчйти треугольник, в котором были бы и а, и Ь, и [ВК]? Попробуем.
Выполним параллельный перенос [BD] на ВС (рис. 65). Получим: | DDl \=\BC\ = b. В AACD1 \AD, \ =а + Ь, \СН\ =
= \ВК\, ACD1 = АоЪ = 90°.
63
Продолжение
Советы решающему задачу
Решение задачи
Высказывая догадку, старайтесь сразу подкрепить ее рассуждениями. Догадка должна быть правдоподобной.,
Итак, в AACD1 найти зависимость I СН I от а и Ь.
3. Решайте вместо одной задачи другую, аналогичную данной. Составляйте задачи, родственные данной (более или менее общую, чем данная задача), и исследуйте эти задачи.
Сформулируем подзадачу: «Какие значения может принимать высота, опущенная на гипотенузу, если гипотенуза равна а + ЬЪ
Что нам известно о высоте, опущенной на гипотенузу?
а) Высота есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы, на которые она делится основанием высоты.
б) В равнобедренном треугольнике высота совпадает с медианой. Это уже интересно!
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой
а + b /д, гипотенузы, т. е. —^—. (Медиана есть радиус описанной окружности.)
Построим на гипотенузе а -\-b окружность (рис. 66).
Очевидно, высота любого прямоугольного треугольника с гипотенузой а -f- b будет меньше или равна радиусу описан-а + b
ной окружности, т. е. —^—.
Равенство будет достигаться в случае, когда AACDl равнобедренный, т. е. \CDt\ = \BD\ = = \АС\ \АС\ =\BD\— равные диагонали имеет равнобедренная трапеция. Значит, для любой трапеции
64
Продолжение
Советы решающему задачу
Решение задачи
В b N С
А К
Рис. 67
\сн\<-
- (равенство для
равнобедренной трапеции).
Итак, первое «А нельзя ли...?» привело пас к решению задачи «В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, меньше или равна половине гипотенузы».
Стоп! У нас ведь есть сразу прямоугольные треугольник?* без дополнительных преобразований:
aaod и а вос. Это, пожалуй, будет проще. Высота тра-пеции складывается из высот aaod и а вос, т. е. \сн\ = \no\+\op\ (рис. 67).
В авос | OJV | < J-^J --I AT)
В aaod \ ор\ <
СН\
\on[
2
\ор\с^
2 а
Г
4. Учитесь «шлифовать» решение задачи, коротко и ясно оформляйте его. Старайтесь правильно мыслить. Обосновывайте каждый шаг в найденном вами решении.
Помните, что оформлять решение задачи можно по-разному: в виде связного рассказа, в виде рисунка или схемы, в виде таблицы и т. д.
Используйте для сокращения и четкости записи логико-математическую символику.
Выбирайте тот способ оформления решения задачи (и ее ус-
Решение.
1) Проведем через точку о [np]^[bk}; \bk\=\np\ =
= \no\ + \ор\ (см. рис. 67).
2) В aaod [ом] — медиана, aod = 90° (по условию)
,^лл \Щ а,
=>. \ом\ = Ly-1 = g (радиус описанной окружности).
3) В любом треугольнике высота меньше или равна медиане, проведенной к той же стороне, значит, \ор | ^ | ом | = ^.
65
Продолжение
Советы решающему задачу
Решение задачи
ловия), который вам представляется более удобным.
4) Аналогично 2-му и 3-му шагам решения, в Л бос on |<J
4
= 1^1<| + |=й+/;(посвой-ству сложения неравенств).
5. Учитесь на задаче. Решив задачу, просмотрите все решение заново. Изучите решение, проконтролируйте имеющиеся выкладки и обоснование.
Установите то, что полезно запомнить, что может пригодиться в дальнейшем.
•
В решении основной задачи решающую роль сыграла родственная задача. Полезно запомнить, что
а) для сравнения линейных величин удобно рассматривать их в одном треугольнике;
б) при решении удобно прямоугольный треугольник связывать с описанной (а может быть, и вписанной?) окружностью;
в) высота, опущенная на гипотенузу, меньше или равна половине этой гипотенузы;
г) высота в трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями меньше или равна полусумме оснований, т. е. средней линии трапеции;
д) в равнобедренной трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии.
6. Решение задачи — это ваша небольшая научно-исследовательская работа. Старайтесь при решении задач почувствовать себя
Будет ли данная задачная ситуация проблемной? Может ли данная задача породить новые задачи?
66
П родолжение
Советы решающему задачу
Решение задачи
в роли ученого. Изобретайте новые решения и новые задачи, овладевая умением работать творчески. Старайтесь подойти к задаче и ее решению с разных сторон. Чаще задавайте себе вопрос: «А нельзя ли...?» или «А
