Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
Давайте вместе рассмотрим решение нескольких прикладных задач, чтобы вы начали учиться самостоятельно применять математику на практике.
Задача. На двух заводах (I и II) ведутся работы по производству автомобилей типа А и В. По ряду причин эта работа выполняется на каждом заводе в течение не более чем 30 ч в неделю. Первый завод производит части для автомобилей типа А за 10 ч и части для типа В — за 5 ч. На втором заводе сборка машин типа А проводится за 5 ч, а типа В — за 10 ч. Прибыль при продаже автомобиля типа А равна 200 условных денежных единиц, а типа В — 300 усл. д. ед. Сколько автомобилей каждого типа следует производить еженедельно для получения максимальной прибыли?
Начнем с изучения условия задачи. Обозначим через х и у число автомобилей типа А и В соответственно, выпускаемых еженедельно. Перенесем данные задачи в следующую таблицу:
Заводы
Прибыль
Число автомобилей в неделю
I
II
Автомобиль типа А
10 ч
5 ч
200
x
Автомобиль типа В
5 Ч
10 ч
300
У
По условию время изготовления автомобилей типа А а В должно быть не больше 30 ч в неделю.
Переведем теперь условие задачи на математический язык.
58
(1)
Имеем: (10* + 5у < 30,
5* + 10у < 30, ¦ х > 0, у > 0.
Заметим, что система неравенств (1) и есть математическая модель данной ситуации. Она показывает, что нужно отыскать такие значения переменных * и у, которые удовлетворяли бы системе (1), т. е. найти пересечение множеств Мг = {(*, у) I 10* + 5у < 30} и М2 = {(*, у) I 5*+10у < 30}. Заменим систему (1) более простой, ей эквивалентной: 2* + у < 6, * + 2у < 6, . * > 0, у > 0 и решим ее графически (рис. 61).
Получился четырехугольник ABCD. Таким образом, множество всех возможных вариантов числа изделий (*, у) может быть представлено в виде этого четырехугольника. Найдем координаты вершин ABCD:
А (0; 0), В (0; 3), D (3; 0), С (2; 2).
Теперь осталось выяснить, для каких же пар чисел (*; у) —точек этого . четырехугольника сумма ( *+ у) будет наибольшей.
Для этого построим на одном чертеже графики уравнений * + у = 1, * + у = 2, * + у = 3, * + у = 4 с изображением четырехугольника ABCD (рис. 62).
На рисунке 62 видно, что в точке С (2; 2) сумма * + у имеет наибольшее значение: 2 + 2 = 4. Для других точек четырехугольника ABCD значение суммы * + + у меньше 4 (например, для точек отрезка BD она равна 3).
Практический вывод: а) для получения максимальной прибыли, при данных условиях, необходимо еженедельно изготавливать по 2 автомобиля каждого типа; б) нетрудно рассчитать и прибыль: 200 ¦ 2 + 300 • 2 = 1000.
Полезно отметить, что, решая эту практическую задачу, мы одновременно сумели решить интересную математическую задачу:
«Найти наибольшее значение выражения 200* + ЗООу, если переменные * и у удовлетворяют условию:
' 10* + 5у < 30, 5* + 10у < 30, ¦ X > 0, у > 0». Рис. 62
Рис. 61
59
Таким образом, решение практических задач часто приводит к развитию теории.
Заметим, что в действительности завод выпускает еженедельно значительно большее число автомобилей. Однако для ознакомления с методом решения подобных задач достаточно рассмотреть задачу с намеренно упрощенными данными. Здесь авторы следуют известному принципу «Изучай сложное на простом примере!» и советуют вам, наши читатели, упрощать условия трудных задач, для того чтобы успешнее осмыслить задачу.
Рассмотрим еще одну задачу.
Задача. Какими правильными конгруэнтными многоугольниками можно сплошь покрыть плоскость (при этом каждый многоугольник находится вне другого, а соседние многоугольники имеют одну общую сторону)?
Рассмотрим решение этой задачи.
а) Пусть некоторыми правильными n-угольниками можно покрыть плоскость. Пусть при этом в одной вершине сходятся т углов.
б) Используя теорему о сумме величин углов многоугольника, запишем, чему равна величина внутреннего угла правильного многоугольника:
2d(n — 2) п
в) Так как в одной вершине сходятся т углов, то
2-^Л ¦ т = 360°. п
г) Преобразуем это равенство, помня, что п, т — натуральные числа, п > 2.
2" /is
т =-. (1)
п — 2 v '
2л
д) Чтобы найти значения т и п из (1), выделим из дроби
л —2 целую часть:
_2п_ = 2л -4+4 = 2(л-2) +4 = g _4_( п—2 л-2 л—2 п — 2 '
Уравнение (1) примет вид:
т = 2 +
л-2
е) Для того чтобы т имело целые положительные значения,
а.
необходимо, чтобы дробь- была целым положительным числом;
л — 2
это возможно, если число п ? N четное и 2 <п<6, т. е. п = 4 или п = 6, или же п нечетное и равное 3.
ж) Практический вывод. Плоскость можно покрыть правильными треугольниками, четырехугольниками, шестиуголь-
60
никами. Поэтому для покрытия полов часто применяют керамические плитки, форма которых является правильным четырехугольником, правильным шестиугольником.
з) Мы рассмотрели вопрос о покрытии поверхности правильными «-угольниками. Можно ли покрыть поверхность неправильными конгруэнтными л-угольниками?
Существует ли такой пятиугольник, которым можно заполнить плоскость?
