Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Если контур К замкнутый, то последний интеграл пропадает, и мы получаем простую и вместе с тем важную формулу:
(51)
составляющую содержание следующей теоремы: производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру К равна циркуляции от ускорения по тому же контуру.
Ввиду важности формулы (51) дадим другое доказательство ее.
Для ясности, будем направленный элемент кривой К обозначать через dr, а не через с?г, как до сих пор, и введем обозначение
: <|>v.dr
Составляем теперь полную производную по времени от Г, для чего берем полную производную по времени от каждого элемента этого интеграла (нужно брать полную производную, ибо мы считаем линию К жидкой):
tf(v6r)
dt
dv . , dor
W&1 + V"dT
Докажем теперь, что
dor . __ = 6v
В самом деле, если (фиг. 84)
dr = MM'
Фиг. 84
где г' и г радиусы-векторы точек M и M' относительно какого-нибудь произвольно выбранного начала координат О, то
dbt dl
ибо производная по времени от радиуса-вектора г есть как раз вектор скорости V, разность же v' — v представляет изменение скорости при переходе от точки M к M'. Итак 270
векторный анализ
Гл. Il
и, следовательно,
К К KK
что и доказывает вновь формулу (51).
Из формулы (51) очень легко вывести теорему Томсона-. Если движение идеальной жидкости происходит под действием сил, имеющих однозначный потенциал, и если плотность есть функция давления {в частности, если жидкость несжимаема), то циркуляция скорости по любому жидкому контуру во все время движения остается постоянной.
В самом деле, при указанных в теореме условиях основные уравнения гидродинамики могут быть написаны, как показано в § 17, в виде
? =grad (U-P) (52)
Поэтому правая часть формулы (51) принимает вид
= ф grad (U — />)-cfr к к
и по известному свойству градиента обращается в нуль. Итак
d_ dt к
Qvdr=O (53)
Отсюда вытекает, что
ф V • cfr = const (54)
т. е. циркуляция скорости по любому жидкому контуру остается постоянной.
Этот же самый результат можно получить и непосредственно из формулы (46), полагая в последней а — г:
|>v.<ir = ф (^+ rot vxv)"«fr (55)
к к
Но В І 17 мы видели, что прн соблюдении условий теоремы Томсона
/ 1 \ + rot vxv = grad П = grad (U — P--г?J
следовательно,правая часть формулы (55) обращается в нуль, и мы опять восстанавливаем формулы (53) и (54). Так как
Qydr = ^ rot„ V dS к S
где S есть поверхность, опирающаяся на контур К, то, путем применения рассуждений, совершенно аналогичных тем, которые были приведены 5 2< переменный поля в сплошной среде
271
в пункте 5, можно доказать, что при соблюдении условий теоремы Томсона, зихревые линии обладают свойством сохраняемости, также как и интенсивности вихревых трубок, т. е. можно вновь доказать теоремы Гельмгольда, полученные нами в п. 6.
9. В этом пункте мы рассмотрим некоторые вопросы, связанные с изучением уравнения (с — постоянное число, р (х, у, Z, t) — заданная функция):
а®Ф . . і д*<р , л /С„.
a^ + ap + oS-?-^= P^ У- г- *> <56>
левую часть которого мы будем иногда обозначать знаком Q<p:
?ф = Дф-^гу? (57)
В § 17 мы видели, что мучение малих колебаний сжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил сводится к изучению уравнения
?ф = 0 (58)
которое называется волновым уравнением, так как в движении жидкости, определяемом этим уравнением, возмущения распространяются во все стороны со скоростью, равной с. Прн с — оо уравнение (58) превращается в уравнение Лапласа, а уравнение (56) в уравнение Пуассона, Имея это в виду, мы постараемся применить к исследованию уравнений (56) и (58) те же методы, которые мы использовали при решении уравнений Пуассона а Лапласа.
Мы видели, что решением уравнения Пуассона
Дф = P (х, у, z) (59)
является Ньютонов потенциал
\ р<Е-?°'7 (60)
OO
где г — расстояние между точкой P (х, у, z) и переменной точкой Q (5. Т|, ?), принадлежащей тому объему, по которому производится интегрирование-
При этом функция — обладает тем замечательным свойством, что рассматриваемая, как функция точки P1 она удовльтворяет уравнению Лапласа
A-J-=O (61)
всюду, кроме точки Q.
Попробуем обобщить эти результаты на случай неоднородного волно-
<1
вого уравнения (56). Роль функции — должна здесь играть такая функция Ф (г, t), которая всюду, кроме точки Q, удовлетворяет уравнению 272
векторный анализ
Гл. TI
Возьмем точку Q 8а начало сферических координат, так что положение точки P относительно точки Q определяется координатами г, в, ф. Переписав уравнение (62) в сферических координатах и замечая, что Ф, по условию, не зависит от 6 и ф, найдем уравнение
13/ . ЗФ\ 1 02ф
-FTrV IFSZ=0 <63>
Отметим теперь одно простое, но важное преобразование 1 д(гдФ\_т> 2 дф _ 1 э» (гФ;
г» дг V дг) дг'~Ґ г дг г дг* 11
доказательство которого не представляет ни малейших затруднений.
Помножая уравнение (63) на г, можем переписать его в виде
<w>
Легко теперь видеть, что функция
rO(r,t) = /(«--J-) (66)
