Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
263
кн есть не что иное, как поток вектора а через сечение St этой трубки:
Г = \ On (0 dS t
и так как иптєнсевность векторной трубки по условию сохраняется, то должно выполняться условие (24), а следовательно и условие (25) для произвольной поверхности <S». Выбирая любую точку и в ней любое направление п, возьмем малую площадку S, перпендикулярную к этому направлению, и применим к ней формулу (25); мы получим тогда, что
/da
(? — (a-V)v + a div v)-n = О (29)
для произвольного направления п. Отсюда непосредственно следует условие (28).
Докажем теперь достаточность условия (28). Предположим, что условие (28) выполнено, и рассмотрим в момент Io некоторую векторную поверхность So, т. е. такую поверхность, в каждой точке которой вектор а лежит в касательной плоскости к этой поверхности. Докажем что жидкая поверхность 2о, деформируясь, все
время остается векторной поверхностью S1. В самом деле, ограничим на поверхности So кусок этой поверхности S0 произвольной кривой Го и рассмотрим поток вектора а через So; очевидно, что
Фиг. 82
5 On dS = О
(30)
Sa
ибо в каждой точке So будет а„ = 0, так как вектор а лежит в касательной плоскости к поверхности So.
Применяя теперь формулу (23) и замечая, что правая часть этой формулы равна, по условию (28), нулю, получим, что
следовательно интеграл
T1 Ї-.Л-0
S1
(31)
во все время движения сохраняет постоянное значение, а так как в момент 2о этот интеграл равнялся по (30) нулю, то во все время движения должно выполняться равенство
^an dZ
(32)264
векторный анализ
Гл. TI
Но зто может быть, в силу произвола выбора куска 2, поверхности S1, только тогда, когда в каждой точке поверхности D1 выполняется равенство On = 0, т. е. когда в каждой точке поверхности St вектор а лежит в касательной плоскости к этой поверхности.
Hq это, по определению, и означает, что поверхность Dj есть векторная поверхность.
Нетрудно теперь видеть, что при соблюдении условия (28) каждая жидкая линия L будет все время векторной линией, если она является векторной линией в какой-нибудь момент to-
В самом деле, через положение Lo жидкой линии к моменту Ia можно провести две векторных поверхности So' a So*, пересекающихся по линии La. К моменту t жидкие поверхности 2о' и 2о" перейдут в положения 2(' и 2,", которые но вышесказанному тоже являются векторными поверхностями.
Жидкая линия Lt, являющаяся пересечением жидких поверхностей So' и 2о", перейдет к моменту t в линию Lt пересечения жидких поверхностей 2(' и 2(".
Линия Lt является векторной; в самом деле в каждой точке этой линии вектор а должен лежать как в касательной плоскости к поверхности Sf', так и в касательной плоскости к поверхности 2t", а следовательно он должен быть направлен по касательной к линии Lt. А это последнее обстоятельство и является определяющим свойством векторной линии.
Итак, при выполнении условия (28) векторные линии обладают свойством сохраняемости.
Образуем теперь какую-нибудь векторную трубку Ко, соответствующую моменту времени to, и вычислим ее интенсивность
где Sa — сечение трубки Ka. К моменту t трубка Ka перейдет в векторную трубку Ki с интенсивностью
где S1 — то сечение трубки Kt, в которое перешла жидкая поверхность S0. Применим опять (23) а воспользуемся (28), в результате нолучим, что
и следовательно Г = const = Г0, т. е. интенсивность векторной трубки сохраняется во все время движении.
Таким образом при соблюдении условия (28) интенсивности векторных трубок обладают свойством сохраняемости. Высказанная нами теорема доказана полностью.
S1hhpewЕННЫК поля в сплошной среде
265
Докажем теперь вторую теорему, а именно, что условие, необходимое для сохраняемости векторных линий вектора а, состоит в выполнении равенства
(S- <a-V>v) ха = 0 (33)
во всей рассматриваемой области для всех рассматриваемых моментов времени I.
Заметим прежде всего, что если сохраняются векторные линии, то, очевидно, сохраняются и векторные поверхности, и обратно.
Итак, предположим, что векторные поверхности обладают свойством сохраняемости; возьмем в момент to какую-нибудь векторную поверхность Sd и выделим на ней произвольный кусок Sg, тогда по самому определению векторной поверхности
$a„tfS = О
2".
К моменту t жидкая поверхность So перейдет в поверхность Si, по условию векторную, a So перейдет в Sf. Ясно, что
Jj OnOS = 0 2T
а тогда из формулы (23) следует, что
J g_(a.v)v +adivv).«ds = 0
для любой векторной поверхности S<. Отсюда сразу выводим, что
(a-V) Ў +adivv).n = О
для любого вектора п, перпендикулярного к а, так как всегда можно провести малую векторную поверхность S(, перпендикулярную в данной точке к такому вектору п.
Итак, все составляющие вектора
— (a.V)v + a div V
по направлениям, перпендикулярным к а, равны нулю, а следовательно этот вектор должен иметь то же направление, что и вектор а. Следовательно
(?-- (a-V) V +adivv) ха = 0 (34)
каковое условие совершенно эквивалентно условию (33).