Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 87

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 144 >> Следующая


263

кн есть не что иное, как поток вектора а через сечение St этой трубки:

Г = \ On (0 dS t

и так как иптєнсевность векторной трубки по условию сохраняется, то должно выполняться условие (24), а следовательно и условие (25) для произвольной поверхности <S». Выбирая любую точку и в ней любое направление п, возьмем малую площадку S, перпендикулярную к этому направлению, и применим к ней формулу (25); мы получим тогда, что

/da

(? — (a-V)v + a div v)-n = О (29)

для произвольного направления п. Отсюда непосредственно следует условие (28).

Докажем теперь достаточность условия (28). Предположим, что условие (28) выполнено, и рассмотрим в момент Io некоторую векторную поверхность So, т. е. такую поверхность, в каждой точке которой вектор а лежит в касательной плоскости к этой поверхности. Докажем что жидкая поверхность 2о, деформируясь, все

время остается векторной поверхностью S1. В самом деле, ограничим на поверхности So кусок этой поверхности S0 произвольной кривой Го и рассмотрим поток вектора а через So; очевидно, что

Фиг. 82

5 On dS = О

(30)

Sa

ибо в каждой точке So будет а„ = 0, так как вектор а лежит в касательной плоскости к поверхности So.

Применяя теперь формулу (23) и замечая, что правая часть этой формулы равна, по условию (28), нулю, получим, что

следовательно интеграл

T1 Ї-.Л-0

S1

(31)

во все время движения сохраняет постоянное значение, а так как в момент 2о этот интеграл равнялся по (30) нулю, то во все время движения должно выполняться равенство

^an dZ

(32) 264

векторный анализ

Гл. TI

Но зто может быть, в силу произвола выбора куска 2, поверхности S1, только тогда, когда в каждой точке поверхности D1 выполняется равенство On = 0, т. е. когда в каждой точке поверхности St вектор а лежит в касательной плоскости к этой поверхности.

Hq это, по определению, и означает, что поверхность Dj есть векторная поверхность.

Нетрудно теперь видеть, что при соблюдении условия (28) каждая жидкая линия L будет все время векторной линией, если она является векторной линией в какой-нибудь момент to-

В самом деле, через положение Lo жидкой линии к моменту Ia можно провести две векторных поверхности So' a So*, пересекающихся по линии La. К моменту t жидкие поверхности 2о' и 2о" перейдут в положения 2(' и 2,", которые но вышесказанному тоже являются векторными поверхностями.

Жидкая линия Lt, являющаяся пересечением жидких поверхностей So' и 2о", перейдет к моменту t в линию Lt пересечения жидких поверхностей 2(' и 2(".

Линия Lt является векторной; в самом деле в каждой точке этой линии вектор а должен лежать как в касательной плоскости к поверхности Sf', так и в касательной плоскости к поверхности 2t", а следовательно он должен быть направлен по касательной к линии Lt. А это последнее обстоятельство и является определяющим свойством векторной линии.

Итак, при выполнении условия (28) векторные линии обладают свойством сохраняемости.

Образуем теперь какую-нибудь векторную трубку Ко, соответствующую моменту времени to, и вычислим ее интенсивность

где Sa — сечение трубки Ka. К моменту t трубка Ka перейдет в векторную трубку Ki с интенсивностью

где S1 — то сечение трубки Kt, в которое перешла жидкая поверхность S0. Применим опять (23) а воспользуемся (28), в результате нолучим, что

и следовательно Г = const = Г0, т. е. интенсивность векторной трубки сохраняется во все время движении.

Таким образом при соблюдении условия (28) интенсивности векторных трубок обладают свойством сохраняемости. Высказанная нами теорема доказана полностью.

S1 hhpewЕННЫК поля в сплошной среде

265

Докажем теперь вторую теорему, а именно, что условие, необходимое для сохраняемости векторных линий вектора а, состоит в выполнении равенства

(S- <a-V>v) ха = 0 (33)

во всей рассматриваемой области для всех рассматриваемых моментов времени I.

Заметим прежде всего, что если сохраняются векторные линии, то, очевидно, сохраняются и векторные поверхности, и обратно.

Итак, предположим, что векторные поверхности обладают свойством сохраняемости; возьмем в момент to какую-нибудь векторную поверхность Sd и выделим на ней произвольный кусок Sg, тогда по самому определению векторной поверхности

$a„tfS = О

2".

К моменту t жидкая поверхность So перейдет в поверхность Si, по условию векторную, a So перейдет в Sf. Ясно, что

Jj OnOS = 0 2T

а тогда из формулы (23) следует, что

J g_(a.v)v +adivv).«ds = 0

для любой векторной поверхности S<. Отсюда сразу выводим, что

(a-V) Ў +adivv).n = О

для любого вектора п, перпендикулярного к а, так как всегда можно провести малую векторную поверхность S(, перпендикулярную в данной точке к такому вектору п.

Итак, все составляющие вектора

— (a.V)v + a div V

по направлениям, перпендикулярным к а, равны нулю, а следовательно этот вектор должен иметь то же направление, что и вектор а. Следовательно

(?-- (a-V) V +adivv) ха = 0 (34)

каковое условие совершенно эквивалентно условию (33).
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed