Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 86

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 144 >> Следующая


(14)

Обозначим контур поверхности S через L (фиг. 81), за время dt зтот контур при своем смещении опишет поверхность 2, которая вместе с поверхностями 5 в Si образует замкнутую поверхность. Если выбранное нами направление нормали является внешней нормалью для Si, то оно будет внутренней нормалью для S. Применим теперь к объему, ограниченному поверхностями S, Sj и 2, формулу Гаусса-Остроградского:

\ div a ?^ = ^ aJS — ^ OnClS + ^ я-dl, (15)

V 8. S ?

Ясно, что элементом поверхности является площадка с ребрами dr (элемент кривой L) и V dl, следовательно

Фиг. 81 di, = dryV dt

Далее для элемента объема dV, очевидно, имеем (фиг. 81)

dV = dS vn di (16)

Поэтому из (15) получаем:

\ а„ dS — ^ ап dS = ^ div aw„ dS dt — \ax (drxv dt)

s, s s L

(17)

Наконец, мы имеем согласво формуле для векторно-скалярного про-изв едения

^ a-(drxv di) = — <u^(axv)-cfr (18)

и на основании формулы Стокса

Ї (axv)«dr = ^ rot„(axv) dS L s

На основании (14), (17), (18) и (19) получим:

chin = ^ [vn div a + rot„ (axv)] dS dt

s

и, вспоминая еще (13), получим окончательный результат ^an dS -J (? + div а + rot„ (aXv))dS

(19)

(20)

(21) §21

перёмвяные ноля в сплошное среде

261

В случав замкнутости поверхности S, контур L стягивается в точку, следовательно, интегралы (19) обращаются в нуль, и формула (21) упрощается

± § andS = ? + div a)dS (22)

в S

Формулу (21) можно преобразовать еще дальше, если воспользоваться формулой (6) § 17:

rot (axv) = (v> V)a — (»• V) "v + a div v — v div a

В самом деле, мы имеем в силу этой формулы, что

^.+ vdiv a + rot (axv) = ^j + (v-V) a — (a-V) v + a div v =

= -jj — (a- V) V + a div v

Поэтому формула (21) может быть переписана в следующей форме

\ andS = 5 (?- (а-V) V + a div т).вй (23)

s s

5. Переходим к применениям полученных в предыдущем пункте формул. Выведем прежде всего условие того, чтобы поток вектора а через любую жидкую площадку S не менялся бы с течением времени. В этом случае

s

и, следовательно, формула (23) приводит нас к условию:

(a-V)t +adivv).nd5 = 0 (25)

причем это равенство должно иметь место для любой поверхности S.

Отсюда следует, что во всех точках рассматриваемой области должно быть

— (a-V)v +a div v = 0 (26)

Чтобы выяснить значение полученного нами условия (26), введем новое понятие сохраняемости векторных линий.

Пусть имеем нестационарное поле вектора а (г, I). Проведем векторные линии этого вектора, отвечающие моменту г, т. е. линии, в каждой точке которых вектор а имеет направление касательной к этой линии.

Мы уже знаем (§ 11), что уравнением векторных линий является

rfrxa = 0 (27)

или в декартовых координатах

dx__dy__dz

ах (г, у. г. t) ~ Ov (х. у. г, ?) — «г (х, у, z, ?) 2(52

векторный анализ

Гл. II

При этом время t, при интегрировании этих уравнений, мы рассматриваем как параметр, имеющий фиксированное значение.

Проведем теперь векторные линии вектора а, соответствующие другому моменту времени <'. Тогда могут иметь место два случая.

Вообще говоря, рассматривая какую-нибудь векторную линию, соответствующую моменту t', мы обнаружим, что она состоит из частиц среды, которые в момент t принадлежали различным векторным линиям. Но, в частном случае, может оказаться, что частицы, составляющие к моменту t' векторную линию, в момент t тоже образовывали векторную линию. Бели это последнее обстоятельство имеет место для любых моментов времени t и V и для любых векторных линий данного вектора а, то мы говорим, что векторные линии вектора а обладают свойством сохраняемости.

В случае, если векторные линии вектора а обладают свойством сохраняемости, каждая векторная трубка будет во все время движения сплошной среды оставаться векторной трубкой, так как она ограничена совокупностью векторных линий, каждая из которых остается все время векторной линией. Но в этом случае опять-таки можно различить два подслу-чая: первым подслучаем будет тот, когда интенсивность векторной трубі™ меняется с течением времени; втерым же подслучаем будет тот, когда интенсивность любой векторной трубки во все время движения сохраняет свою величину. В этом последнем подслучае мы будем говорить, что интенсивности векторных трубок обладают свойством сохраняемости.

Докажем теперь две следующие теоремы.

Покажем прежде всего, что условие, необходимое и достаточное для того, чтобы сохранялись как векторные линии вектора а, так и интенсивности векторных трубок, состоит в выполнении равенства

dJl — (а. V) V + a div v = 0 (28)

во всей рассматриваемой области для всех рассматриваемых моментов времени t.

Покажем сначала необходимость условия (28). Итак, предположим, что векторные линии обладают свойством сохраняемости, так же как и интенсивности векторных трубок.

Возьмем теперь в какой-нибудь момент to совершенно произвольную поверхность Л, ограниченную контуром Ce.

Будем рассматривать зту поверхность So, как жидкую. Проведя через точки контура Со векторные линии, образуем векторную трубку Ко, которая с течением времени будет деформироваться, но все время, по условию, будет оставаться векторной трубкой K1 (фиг. 82). При этом поверхность So, являющаяся сечением первоначальной векторной трубки, тоже будет деформироваться, но тоже будет все время оставаться сечением S повой векторной трубки. Так как интенсивность векторной труб- переменные поля в сплошной среде
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed