Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 85

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 144 >> Следующая


2. Вычислим теперь проиаводную по времени от интеграла (3). По обшему правилу, даем времени t приращение Д/; за промежуток времени Al частицы, занимавшие к моменту времени t объем V, ограниченный 5 2< переменный поля в сплошной среде

257

поверхностью S и заштрихованный на фиг. 80 горизонтальными черточками, заполнят в момент времени t -f- Д* объем V, ограниченный поверхностью S' и заштрихованный на фиг. 80 вертикальными черточками. Обозначим теперь общую часть объемов VhV через Vi, объем, заключенный между поверхностями

Si и Si' и образованный теми частицами, ко- ,

торые за время At вышли из поверхности S, через V3, и, наконец, объем, заключенный между поверхностями S3 и Sa' и образованный теми частицами, которые за время At вошли . внутрь поверхности S, через Vt.

Очевидно, что V = Vi + V3, V = Vi + V3.

/оч Фиг. 80

и поэтому для приращения интеграла (о)

за время At получаем выражение

Ah = I3 (* + АО — Zs (г) = ^ ф (г, / + Д<) dV — ^ ф (г, t) dV =

vll-i-v2 v1-i-v,

= } [ф (Г. І + At) — ф (г,t)\dV +|ф (i,t + At) dV — [ф (г,г) dV (4)

v1 v,

По теореме о среднем



l-t-ОДІ

где 0 < В < 1; кроме того, при дг — 0 объем Fi обращается, очевидно, в V, поэтому

^dV

Imi-IrS 1ф (Г> f + -ф (Г' 1)1 ^ = ^

Если элемент поверхности Si обовначить через dS, то, как видно нз фиг. 80, частицы, проходящие за время At через этот элемент, заполнят элемент объема Fa в виде цилиндра с основанием dS и ребрами, величина и направление которых определяются вектором v At. Объем этого элемента равен vn At dS и поэтому

Iim -гт-^ Ф (г, t + At) dV = \ фг>„ dS д<~о Д2 Jj I

На части поверхности .Sa нормальная составляющая скорости ип отрицательна, поэтому элемент объема Vs будет равен — vnAt dS и поэтому

Hm Д.t ф (г, t)dV = - \ фvndS 4^0 ?. s,

Принимая все полученные формулы во внимание и составляя

dh ,. АЛ

-TT- = lim -7-7-dt Д1-И>

17 h- е. кочин 258

векторный анализ

Гл. TI

мы и получим, замечая, что S = Sі + 5а, полную производную от интеграла Із:

W^dv= [^dv (5>

v ir s

Мы нарочно подробно провели все рассуждение; на самом деле все это рассуждение коротко можно передать следующими словами. Изменение интеграла Is происходит от двух причин: от изменения функции ф и от изменения объема V. Если бы изменения объема V не происходило, то за время dl функция ф получила бы приращение

а интеграл Ia приращение

dVdt

V

что и дает первый член формулы (5). Пусть теперь функция ф не меняется, а изменяется только объем V; это может происходить только потому, что некоторые частицы выходят или входят через поверхность S.

Через элемент dS этой поверхности за время dt выходит объем сплошной среды vn dt dS; это увеличение объема V доставит интегралу /з приращение фр„ dt dS, а все приращение интеграла /з, происшедшее от изменения объема V, будет, очевидно, равно

ффг>„ dS dl

откуда получается второй член формулы (5).

По теореме Гаусса-Остроградского, поверхностный интеграл можно преобразовать в объемный

dS = ^ div (ф v) dV

Следовательно, выражение для полной производной от объемного интеграла можно написать и в таком виде:

IfSvdv= U-S+div <ф y)]dV (6)

VV

Наконец, воспользовавшись формулой

div (ф, V) = ф div V 4- v.grad ф и формулой (1), можно переписать (6) также в следующем виде

I*«"= ИЗ-divv^ Р> переменные поля в сплошной среде

269

Совершенно аналогичная формула получается для векторной функции

а (г, г):

4-\&dV= $(аГ +adivrK (8)

V V

3. В качестве применения полученной формулы дадим новый вывод гидродинамического уравнения неразрывности (один вывод мы уже имели в § 14).

Рассматривая движение газа, обозначим через р (г, () его плотность. Тогда ясно, что масса M газа, заключенного в объеме V, будет

M = ^ р (IV

V

Бели объем V — жидкий, то масса газа M должна сохранять постоянное значение и, следовательно,

iS- = O

Применяя формулу (7), получим

S (-?+ PdivvjdF = O

V

Так как объем V можно брать совершенно произвольным, то полу, чается, что

if 4- P div V = О (9)

А это и есть уравнение неразрывности.

В качестве второго примера примем в формуле (7) <р = 1, тогда для величины жидкого объема V получим формулу

dV dt

^ div V dV (10)

Is —

В частности, если принять жидкий объем бесконечно малым я равным 6F, то получим формулу

6T? = divv (")

4. Перейдем теперь к вычислению полной производной от поверхностного интеграла по какой-либо жидкой незамкнутой поверхности S:

ndS (12)

s

Изменение потока вектора а через жидкую поверхность S может происходить от двух причин: 1) от изменения самого вектора а и 2) от изменения жидкой поверхности S. От изменения вектора а в зависимости от времени ? получается приращение интеграла

dyh = Yirds ^t (13)

S

17* 260

векторный анализ

Гл. U

Пусть теперь вектор а не меняется, а изменяется только жидкая поверхность S\ новое положение ее через промежуток времени dt обозначим через Л; тогда, очевидно,

d-Jt = ^ a JS — ^ andS
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed