Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда в получается
5
dQ = — 4я (36)
7. В О- 3 был рассмотрен случай распределения источников по поверх -ности и было показано, что в этом случае вектор терпит на зтой поверх, ности разрыв в своей нормальной составляющей.
Сейчас мы предположим, что вихри заполняют некоторую поверхность 2, и покажем, что вызываемое такими вихрями векторное поле терпит на поверхности 2 разрыв непрерывности. Итак, предположим, что поверхность 2 покрыта вихрями и пусть плоскость фиг. 76 сечет нормально вихревую линию, ароходящую через точку Q, Фиг 76 а пусть вихревая линия смотрит на нас (мы пользуемся на фиг. 76 правой системой координат). Обозначим еще через и, единичный Виктор нормали к поверхности 2 и назовем ту сторону поверхности 2, куда смотрит вектор ш, положительной, а противоположную сторону отрицательной. Проведем, как указано на чертеже, контур ABCD в виде прямоугольника, стороны которого AB = CD — dl бесконечно малы о параллельны как между собой, так и поверхности 2, другие же стороны этого прямоугольника, перпендикулярные к поверхности 2, обозначим через AD = ВС = dh и тоже предположим бесконечно малыми. Мы предположим, что общая интенсивность вихрей, лежащих на поверхности а расположенных между AD и ВС, равна w dl, т. е. мы будем считать плотность вихрей равной го.
Обозначим через а* и а~ значения вектора а в двух точках, бесконечно близких к точке Q и лежащих соответственно с положительной а отрицательной стороны поверхности 2, п установим связь междуэтами значениями а вихрями, расположенными аа поверхности 2. Применим для этого формулу § 16:
^rot a dV « ^dSxa (37)
V S
Возьмем объем V следующего вида: сместим прямоугольник ABCD вдоль вихревой нити, проходящей через Q, т. е. перпендикулярно к плоскости чертежа, на отрезок ds. При этом смещении прямоугольник ABCD опишет параллелепипед с ребрами dl, ds, dh, который мы и возьмем за 250
векторный анализ
Fn. II
объем V. Если за высоту этого параллелепипеда взять dh, то одно основание его будет лежать с положительной стороны поверхности 2, а другое с отрицательной, площадь обоих оснований будет равна
dS = dl ds а объем всего параллелепипеда будет
V = dl dsdh
Если высоту параллелепипеда dh считать очень малой в сравнении с размерами dl и ds, то в формуле (37) интегралом по боковой поверхности параллелепипеда можно будет пренебречь, далее, основание, лежащее с положительной стороны поверхности представляется вектором
dl ds И), другое же основание представляется вектором — dl ds ш, поэтому для правой части формулы (37) получаем выражение
dl ds IilXat — dl ds H1 x а" (38)
Левая же часть формулы (37), очевидно, равна w dl ds. Поэтому и получаем равенство
W = nt ж а+ — nt X а~
или
W = nlX (а+ - а") (39)
которое связывает вихри, распределенные по поверхности S с разрывом вектора а. Из этой формулы видно, что поверхностная плотность вихрей численно равна касательной составляющей разрыва вектора а, причем самые вихри перпендикулярны к этой составляющей.
8. В качестве примера на применение полученных в атом параграфе результатов рассмотрим некоторые вопросы электростатики.
Мы видели ранее, что если обозначить электрический потенциал через <р, то для напряжения электрического поля будем иметь выражение
E = — grad <р (40)
причем
div E = 4яр (41)
определяет нам плотность р объемных зарядов.
Допустим теперь, что на некоторой поверхности S электрическая сила E терпит разрыв в своей нормальной составляющей; вычислим этот разрыв и обозначим его черев 4яо:
Eln + Etn = 4яо (42)
(мы берем в данном случае сумму нормальных составляющих, а не разность, так как направления нормалей на обеих сторонах поверхности S взяты нами, как показывает фиг. 77, равличными). Ясно, что о можно принять за меру плотности электрических зарядов, расположенных на поверхности S. различные векторные поля
251
Допустим, что кроме разрыва нормальной составляющей E на поверхности S у нас никаких особенностей нет. Тогда, образуя сумму потенциала
С Pdv
распространенного по всем объемным зарядам, и потенциала
_ Г OdS
Ф
соответствующего поверхностным зарядам и дающего согласно формуле (13) как раз тот разрыв En, который определен формулой (42), мы получим полный электрический потенциал
ф=!^+!^ (43)
Если мы рассматриваем проводник, ограниченный поверхностью S1 то внутри проводника электрическое поле отсутствует, т. е. E = 0, а следовательно и проекция E на внутреннюю нормаль к S равна нулю. Обозначим через En проекцию E на внешнюю нормаль, а через о — поверхностную плотность зарядов (так как div E=O, внутри проводника зарядов быть не может, все заряды сосредоточены на поверхности проводника). Тогда из (42) будем иметь
4яо = En = - -Jt (44)
Рассмотрим, например, такую задачу: в пространстве находятся к проводников, ограниченных соответственно поверхностями «Si, Si, .. ., Sk. Этим проводникам сообщены заряды еъ ег, ... , ек. Никаких других нарядов в пространстве нет. Требуется определить электрическую силу в каждой точке пространства и распределение зарядов на проводниках.
