Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Но для элемента вихревой трубки имеем
т dV = <j)S\-dS-ds — т dS-ds- si = Г da
Поэтому выражение для А принимает вид
^Ц^ (23)
Заметим теперь, что напряжение вихревой трубки Г есть величина постоянная вдоль всей трубки (§ 16), поэтому Г можно вынести за знак интеграла, и мы получим
A = ^ (24)
L
и следовательно
* = ^Trot
L
Формулой (25) и определяется поле вектора а, создаваемое вихревой трубкой L напряжения Г. Формуле (25) можно дать другой вид. Для этого заметим, что
rotJ4 = Jrol^ (26)
Воспользуемся теперь формулой (3) § 17:
rot (<ра) = <р rot a -f grad <р х а
положив в ней <р = , а = ds; заметим при этом, что переменной точкой, очевидно, считается точка Р, так что вектор а должен рассматриваться как постоянный, и следовательно надо положить rot а = 0. Итак
rot = grad у xds (27)
и значит .
a = ^ grad I Xds (28)
L
Вспоминая еще выражение
можем переписать формулу (28) в следующем виде:
1. различный векторные поля
247
Обозначим через а утол между векторами Sx и г, тогда та часть вектора а, которая происходит от элемента вихревой нити ds, будет определяться формулой
? (3°)
показывающей, что указанная часть вектора а перпендикулярна как к элементу вихревой нити da, так и к прямой PQ, соединяющей точку, где определяется значение вектора а с элементом вихревой нити; численное же значение вектора da будет
,j , Tdssina
!dah--(31>
Формулы (29), (30) и (31) играют большую роль в электромагнетизме, а именно, там показывается, что если L есть проводник, по которому течет электрический ток силою , а в точке P находится единичный
положительный магнитный полюс, то на последний будет действовать сила, равная как раз а, если пользоваться правою системой координат — в этом состоит закон Био-Савара. Таким образом электрические токи являются вихревыми нитями для магнитного поля.
6. Проведем теперь какую-нибудь поверхность 2, контуром которой служит наша вихревая нить, и покажем, что векторное поле, создаваемое вихревою нитью напряжения Г, и поле, создаваемое равномерно распределенными по поверхности 2 дублетами плотности Г, совершенно тождественны вие поверхности 2. В электромагнетизме этому обстоятельству соответствует теорема Ампера, утверждающая, что магнитное поле, создаваемое электрическим током силою J, совершенно такое же, как магнитное поле, создаваемое магнитным листком, контуром которого является проводник, по которому течет ток, и который равномерно намагничен, причем поверхностная плотность магнетизма равна J.
Для доказательства возьмем выражение (18) для векторного поля, создаваемого
равномерно распределенными дублетами а = -^rad Q <18>
и постараемся привести это выражение к виду (29). Вычислим для этого прира- Фвг 74
щение телесного угла dQ, получающееся,
когда точка P смещается в соседнее положение P', причем PP' = dt.
Очевидно то же самое приращение dQ получится, если мы точку P оставим в покое, но зато весь контур L (фиг. 74) сместим в новое положение L' параллельно самому себе иа отрезок — dr, тав что, например, точка Q перейдет в положение Q', причем QQ' = — dr. Между LnL' образуется поверхность, которая и будет видна под углом dQ. Элемент этой поверхности, образованный при смещении элемента ds кривой L, 248
векторный анализ
Fn. II
представляется очевидно вектором — dtxds = da х dr\ проекция последнего вектора на направление QP равна очевидно (da х dr) .щ деля это выражение на квадрат расстояния PQ, мы и получим телесный угол, под которым видна из точки P площадка, построенная на векторах ds и QQ'i
(dsx.dr) -f; г»
Все же изменение телесного угла Q будет
du = { _ [ eh- T1Xtfe)
или окончательно
г-—Г-
dQ-dr.^-^- (32)
Отсюда можно заключить, что
grad (33)
(34)
l
а значит
daxTt
Ч -
Если взять т) = Г, то это выражение полностью совпадает с формулой (29), что и доказывает высказанное выше утверждение
Отметим, что поля, создаваемые вихревой линией и дублетами, совершенно одинаковы только вне поверхности 2; поэтому в области вне поверхности 2 можно пользоваться в обоих случаях любой иа формул
a = ^ rot
?
^ (25)
а--grad Q (35)
однако на самой поверхности S дело обстоит несколько иначе функция Q для случая дублетов терпит разрыв. Фиг 75 как мы видели выше, в случае же вихревой нити никакого разрыва быть не может, ибо самой поверхности 2 в этом случае не существует, она была введена нами искусственно. Зато в случае вихревой нити функция Q получается многозначной; если заставить точку обойти контур К, охватывающий один раз контур L, как показано на фкг. 75, то при правой системе координат функция Q получит приращение — 4я; это видно непосредственно, но может быть также легко доказане на основании теоремы Стокса; в самом деле, вычислим циркуляцию вектора а по контуру К\
^ a-dr = — ^ grad Q -dr = — dQ
ни к 20 различные векторный поля
249
Как видно, приращение этой циркуляции равно произведению из— на приращение телесного угла Q.С другой стороны, по теореме Стокса циркуляция по контуру К равна потоку вихря вектора а череа поверхность, опирающуюся на этот контур. Но контур К охватывает единственный вихрь напряжения Г, значит
