Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
dZ (ап+ — ал~) = <sd2
Отсюда
б = ап* — On- = п ¦ (а+ — а") (13)
Таким образом поверхностное расхождение равно разности нормальных составляющих вектора а с двух сторон поверхности, по которой распределены источники. Отсюда мы заключаем, что если вектор а на некоторой поверхности 2 терпит разрыв в нормальной к этой поверхности составляющей, то мы можем приписать этот разрыв вектора а наличию источников, распределенных по поверхности 2.
4. Рассмотрим теперь тот случай, когда по поверхности 2 распределены дублеты с плотностью т), првчем в каждой точке Q поверхности 2 момент дублета m направлен по нормали D1 к поверхности (фиг. 71), так что ю = TRO1. В этом случае, так как момент дублета, отвечающего элементу поверхности d2, равен очевидно т = т)с?2, получим, воспользовавшись формулой (7) и тем, что
,1 dl Oi-grad,, — = — _
следующее выражение для потенциала ср
Фиг. 71
Это выражение было нами названо в предыдущем параграфе потенциалом двойного слоя. Если же исходить из формулы (10), то найдем следующее выражение для <р:
_ 1Cl c°SO Jf ,1 ,К
<р--5г ) -lh-d2 (і4)
<21
1в* 244
векторный анализ
Fn. II
Выражение
соз а с/2
имеет простой геометрический смысл: это есть
телесный угол dQ, под которым площадка а!2 видна ив точки Z1 (фиг. 72). В самом деле, соединяя точку P с кривой, ограничивающей элемент поверхности dZ, мы получим телесный угол d?. Проведем иа точки І5, как из центра, сферу радиуса г. Подобно тону, как угол измеряется в радианах отношением длины дуги к радиусу, телесный угол dQ измеряется отношением площади элемента сферы к квадрату радиуса г®, т. е.
но очевидно, что dSi = dS ¦ cos а, поэтому и получается
сі2-cos а
dQ = '
(15)
Фиг. 72
Отметим, что если угол а тупой, то dQ получается отрицательным, но ясно, что угол л будет острым и, следовательно, dQ положительным в том случае, когда из точки P видна положительная сторона элемента dS; в том же случае, когда из точки P видна отрицательная сторона этого элемента, угол л будет тупым, а елемент dQ отрицательным. Следовательно, внак d?2 показывает, видна ли ив точки P положительная или отрицательная сторона элемента dS-Формула (14) теперь может быть переписана в виде
* = -s-W0
(16)
(2)
Остановимся теперь на том частном случае, когда плотность Г| на поверхности 2 всюду одинакова. Тогда Tj можно вынести за знак интеграла, а интеграл
(E)
даст просто угол Q, под которым вся поверхность видна из точки P и окончательно получится следующая простая формула:
ф = -Ijt1Q (17)
Итак, в случае равномерного распределения дублетов по поверхности ? векторное поле определяется формулой
а = — 4^" grad Q
(18)
где Q есть угол, под которым видна поверхность 2 из той точки Р, в которой определяется значение вектора а.
Ив (16) следует, что функция ф терпит на поверхности S разрыв непрерывности. В самом деле, если точка P стремится к Q1 оставаясь с по- 20 различные векторный поля
245
ложительной стороны поверхности разрыва, и если мы выделим очень малую часть поверхности Sj1 окружающую точку Q, то S1 будет видна из точки P под телесным углом, очень мало отличающимся от 2я, и потому ф (P) будет очень мало отличаться от
-уЛ (Q) -? 5 п^й
(e-s1)
В пределе, если устремить сначала P к Q, а затем Zx к нулю, получим
«р+ =-4-1 -? \ fI
(S)
Бели же точка P стремится к Q, оставаясь с отрицательной стороны поверхности 2, то из P будет видна отрицательная сторона Sxt и потому
Ф-= +"И" 4S-\ 1^0 (E)
Поэтому получаем
ф* — ф_ = — П (19)
Вектор, равный произведению ф+ — ф_ на единичный вектор нормали H1, можно назвать поверхностным градиентом, так как он характеризует изменение функции ф при переходе через поверхность Jj, подобно тому как grad ф характеризует изменение функции ф при переходе точки в соседние положения.
5. До сих пор мы рассматривали безвихревые поля, происходящие от некоторого распределения источников. Рассмотрим теперь случай, когда задано некоторое распределение вихрей, а источники отсутствуют.
В § 19 мы видели, что если вихри вектора а заданы формулой
rot а = ю {х, у, z) (20)
а источники отсутствуют, то сам вектор а определяется формулой
a = rot А (21)
где
A = -L^ ^dv (22) Фиг. 73
Как простейший случай рассмотрим тот, когда имеется только одна вихревая нить в виде замкнутой линии L; напряжение вихревой нити обозначим через Г.
Обозначим череа dS (фиг. 73) поперечное сечение вихревой трубки, через da направленный элемент кривой L; если орт касательной к кривой L в точке Q обозначить через si, то будет ds — sids; вихрь в точке Q имеет то же направление касательной к вихревой нити, значит со = шах, наконец напряжение вихревой нити есть произведение из площади поперечного сечения трубки dS на величину вихря ю, значит Г = <nSd. 246
векторный анализ
Гл. П
Наконец, очевидно, что объем элемента вихревой трубки равен dV = dSds (произведение из площади основания элементарного цилиндрика dS на его высоту ds).
В формуле (22) надо проинтегрировать только по элементам объема, составляющим вихревую трубку L1 так как никаких других вихрей нет.
