Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
ш fB - 1 Г фЩ'На'-Я'ИГ Vi Ofiv
в
§ 20. Различные векторные поля. Поверхностные расхождение и вихрь
1. До сих нор мы рассматривали преимущественно непрерывные скалярные и векторные поля. Теперь мы рассмотрим несколько случаев, когда изучаемые скалярные или векторные функции терпят разрыв непрерывности в некоторых точках, на некоторых линиях или на некоторых поверхностях.
Один пример такого рода мы имели в § 14 при рассмотрении вопроса об источниках. Мы видели там, что если в некоторой точке, например, в начале координат, находится источник обильности е, и если в других точках пространства нет ни вихрей, ни источников, то векторное поле •будет потенциальным и будет определяться формулой
а - grad Ф (1)
где
так что
а = 4= W W
Если бы источник обильности е находился не в начале координат, :а в точке Qt то поле определялось бы той же формулой (3); при этом, 20 различные векторный поля 241
если вектор а определяется в точке Р, то следует ПОЛОЖИТЬ г «=¦ QP-Если координаты точки P суть х, у, г, а координаты точки Q суть ц, то
' = V(X-I)' + (у - х\У + (Z- О» (4)
2. Рассмотрим еще один пример аналогичного рода. Допустим, что в точке Q (фиг. 68) находится источник обильности — е, в бесконечно же близкой точке Q', координаты которой суть ? + dg, t) + dt), ? + находится источник обильности 4- е; длину бесконечно малого вектора QQ' обозвачим через е, орт этого вектора через Si, тав что QQ' = ssi. Допустим далее, что обильность источников е бесконечно велика, причем произведение e-QQ' = id остается конечным.
Совокупность источников е и — е в точках Q и Q'- называют в этом случае дублетам, а вектор id называют моментом дублета. Такую примерно картину мы имеем в случае магнита, когда рассматри- ' у _»JtfV.«
вается магнитное поле на расстояниях, больших по ®, ЄҐ> сравнению с длиной магнита.
Предполагая, что кроме дублета никаких других источников ает, в и что нет также в вихрей, найдем векторное поле, производимое дублетом момента ш, находящимся в точке Q.
Из формулы (2) очевидно, что в настоящем случае
а = grad ф
причем
Ч"=-^4 SFe=- 4Й (7— f) (5)
Но разность — —— представляет собою приращение функции ~, когда точка Q перемещается в положение Q'\ значит, рассматривая г как функцию точки Q, будем иметь по формуле (11) § 12:
l-| = d| = "^'.grad0i- (6)
причем мы у знака grad поставили зяэчок Q, чтобы укавать. что г рассматривается как функция точки Q, точка же P остается неизменной.
Вставляя (6) в формулу (5), получим:
Ф = -^(eW'gradof) или, так как е QQ' = п» есть момент дублета:
Ф = - 4 (m'Srad^T") <7)
Вспомним теперь формулу (54) § 19:
1 1 grad Q — = — grad Р у (8)
16 Н. В. Кочяв 242
векторный анализ
Fn. II
Поэтому функция <р, характеризующая ноле дублета, может быть написана в таком виде:
Ф = ^(m.gradp і) (9)
Обозначим далее величину момента дублета через те, а угол, составляемый направлением момента дублета с г, через а; так как
grad р= — ^ то ив формулы (9) получим еще такое выражение для ф:
„ і т сод а
1P=-S^r- (Ю)
Б. Рассмотрим теперь тот случай, когда источники распределены по некоторой поверхности (пример — распределение электрических зарядов на поверхности проводника).
Если плотность источников в точке Q поверхности H обозначить через а, то это обозначает, что на элементе поверхности dh, окружающем точку Q (фиг. 69), находится источник обильности е = а а!2. Векторное поле, происходящее от всех таких источников, будет очевидно даваться той же формулой
a = grad9
причем тенерь
Фиг.
I-=Je-T5 <">
(S)
ибо функции <р, происходящие от отдельных источников, очевидно нужно сложить. Выражение (41) было названо в предыдущем параграфе потенциалом простого слоя.
В § 14 мы видели, что расхождение вектора а есть обильность находящихся в поле источников, отнесенная к единице объема. В настоящем случае основную роль играет плотность источников, распределенных но поверхности 2. Эту плотность естественно поэтому называть поверхностным расхождением вектора а.
В § 14 нами была установлена формула Гаусса-Остроградского
§
^OndS =^divarfF (12)
устанавливающая равенство между потоком вектора а через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем Vi и распространенным по этому объему интегралом от расхождения вектора а, представляющим сумму обильностей всех источников, находящихся внутри S.
Применим эту формулу к нашему случаю, когда <р определяется формулой (11), и возьмем поверхность S следующего вида. РАЗЛИЧНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ поля
243
Проведем в точке Q нормаль п к поверхности 2 и сместим элемент поверхности «?2 параллельно самому себе в направлении нормали п в обе стороны от поверхности S на бесконечно малое расстояние. При этом смещении элемент d 2 опишет заштрихованный на фиг. 70 объем, который мы и примем за V, & поверхность, его ограничивающую, примем за S. Обильность источников, находящихся внутри S, равна, очевидно, adS.
Различим теперь две стороны поверхности 2: положительную, прилегающую к области, в которую на- п т правлена нормаль п, и отрицательную. §j| Поток через положительное основание объема V -/V1 равен, очевидно, On^dS, поток через отрицательное ' основание равен — an~dL; потоком через боковую Фиг. 70 поверхность объема V мы можем пренебречь, если высоту цилиндрического объема V возьмем очень малой в сравнении с другими его размерами; поэтому полный поток через поверхность S будет равен dS (а„+ — а„~) и из формулы Гаусса-Остроградского мы получаем равенство:
