Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Наряду с этим мы рассмотрим и задачу Дирихле, в которой условие (91) заменено условием
ф = / (M) на S (92)
так что заданы значения самой функции ф на поверхности S. Если бы нам были известны одновременно значения на поверхности S как самоа234
векторный анализ
Fn. II
¦гармонической функции ф, так и ее нормальной производной, то значение 'функции ф в любой точке внутри области V определилось бы моментально -на основании формулы (47):
vfrvO-ifrS* -іі'іт* <93)
S ?
Пусть нам известны только значения функции ф на поверхности S. Тогда, очевидно, нужно постараться исключить из формулы (93) ду/дп. Для этого попытаемся отыскать такую функцию g (х, у, z; ?, т|, ?) = = g (Р, Q), которая, будучи рассматриваема как функция от rj, удовлетворяет уравнению Лапласа
Д Qg = 0 (94)
ш которая на поверхности S принимает значения
g = — у- ва поверхности S (95)
Функция
G (ж, у, Z-, І, ті, Q = у + g (X, у, г; g, ц, ?) (96)
называется при этих условиях функцией Грина. Как видим, .для ее определения опять надо решить задачу Дирихле, но только при -совершенно определенных граничных значениях функции.
Применим теперь к гармоническим функциям ф и g формулу Грина (38). 'Так как Дф = = 0, то эта формула дает нам равенство
я S
Комбинируя эту формулу с формулой (93), можем переписать последнюю в виде
з з
Но так как по самому определению функции Грина
G (Р, Q) = 0, если Q лежит ва S
то получаем окончательное представление гармонической функции ф через ее граничные аначения:
ф (S, (G)dS (97)
в
В этой формуле dG/dn есть значение нормальной производной от функции Грина, рассматриваемой как функция точки Q в точке Q (|, т), Q поверхности S.
Дадим пример решения задачи Дирихле при помощи функции Грина. Допустим, что поверхность S есть сфера радиуса а с центром в начале§ 19 определение вектора по его вихрю и расхождению
235
координат. Пусть мы хотим определить значение функции ср в точке P (X, у, z), лежащей внутри зтой сферы и отстоящей от центра этой сферы на расстоянии OP = R. Обозначим через Р* точку, симметричную ¦с точкой P относительно сферы S, т. е. точку, лежащую на продолжений радиуса OP и отстоящую от точки О на расстоянии OP*, таком, что
OP* OP = с?
Координатами точки P*, очевидно, будут
а*х
X =
Vt-г*
ж__OtV
У ~ !» + ігЧ-г*1
a?z
** + JZ1H- **
Обозначим еще через г* = P*Q расстоиние переменной точки Q пространства от точки Р*. Заметим теперь, что если точка Q лежит на поверхности сферы S, то, согласно задаче 40 § 5, мы имеем соотношение
Фиг. 67
г* а „„„ 1 а
— = — или — =-
г R г Дг*
ва S
(98)
Но функция -g, а, следовательно, и -j^, очевидно, являются гармоническими функциями от точки Q внутри сферы S. Сравнивая соотношение (98) с формулой (95), мы видим, что можно принять
g (х, у, г; І, Tl, ?) = g (P, ?)=--^-5 =
OP Р*0
V«? - 2а» (*? + ут\ + ф + (т* + у* + (I* + г)* + ?*)
и следовательно,
Вычисляем теперь
G(PtQ) = ^r-fc
(99) (100)
gradQ G = —75 + ? 755 где г = PQ, г* = P*Q\ поэтому при обозначении! фиг. 67 OG Л п COS а а COS ?
дК = e-gradq G-----ж —
принимая теперь во внимание, согласно фиг. 67, что
г cos а = а — R cos 9, г cos ? = a cos в — R аг
легко найдем, что
эе
дп
' R
а' — Д» аг»236
векторный анализ
Fn. II
Поэтому для сферы решение задачи Дирихле дается так называемым' интегралом Пуассона
фот-it=aSliS5 w
S
где R = OP, Г = PQ.
Рассмотрим теперь вопрос о решении поставленной в самом начале этого пункта задачи Неймана. В этом случае иа поверхности S заданы значении нормальной производной искомой гармонической функции <р, и потому нужно попытаться исключить из формулы (93) «ходящие в нее значения функции ф на поверхности. Для этого попытаемся найти такую-функцию H \х, у, z; ?, т), ?) = H (Р, Q), которая удовлетворяет следующим условиям: функция
k(P, Q) = И(Р, Q) (102>
рассматриваемая как функция точки Q, есть гармоническая внутри S функция, далее на поверхности S производная функции H по нормали имеет постоянное значение и именно равное
где S есть величина площади всей поверхности S. Как видим, для определения функции h нужно опять решить задачу Неймана, но при совершенно определенных граничных условиях. Мы знаем уже, что этими условиями функция h определяется с точностью до произвольной постояв-ной. Можно полностью определить Н, если поставить еще требование, чтобы
~H(P,Q)dS= 0 (Ю4>
§
Комбинируя теперь равенство (93) с равенством
S S
вытекающим ие формулы Грина (38) (ибо ДА — Дф = 0), мы получим, что Ф (^) = ± § H (Р, Q) rfS - л. § ™ у dS
8 S
В силу условия (103) последний интеграл правой части будет произвольной постоянной величиной
--^-фф (0 dS = const
S
Следовательно, мы получаем окончательное представление гармони-ческой функции ф через граничные значения ее нормальной производной:
* W = ?Г$Я «Й- + с (105>
S§ 19
определение вектора по его вихрю и расхождению
237
Сделаем по поводу задачи Неймана одно замечание, а именно: аначе-вия нормальной производной дер/дп гармонической функции не могут задаваться на поверхности S произвольно, так как они всегда связаны условием