Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 77

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 144 >> Следующая


Наряду с этим мы рассмотрим и задачу Дирихле, в которой условие (91) заменено условием

ф = / (M) на S (92)

так что заданы значения самой функции ф на поверхности S. Если бы нам были известны одновременно значения на поверхности S как самоа 234

векторный анализ

Fn. II

¦гармонической функции ф, так и ее нормальной производной, то значение 'функции ф в любой точке внутри области V определилось бы моментально -на основании формулы (47):

vfrvO-ifrS* -іі'іт* <93)

S ?

Пусть нам известны только значения функции ф на поверхности S. Тогда, очевидно, нужно постараться исключить из формулы (93) ду/дп. Для этого попытаемся отыскать такую функцию g (х, у, z; ?, т|, ?) = = g (Р, Q), которая, будучи рассматриваема как функция от rj, удовлетворяет уравнению Лапласа

Д Qg = 0 (94)

ш которая на поверхности S принимает значения

g = — у- ва поверхности S (95)

Функция

G (ж, у, Z-, І, ті, Q = у + g (X, у, г; g, ц, ?) (96)

называется при этих условиях функцией Грина. Как видим, .для ее определения опять надо решить задачу Дирихле, но только при -совершенно определенных граничных значениях функции.

Применим теперь к гармоническим функциям ф и g формулу Грина (38). 'Так как Дф = = 0, то эта формула дает нам равенство

я S

Комбинируя эту формулу с формулой (93), можем переписать последнюю в виде

з з

Но так как по самому определению функции Грина

G (Р, Q) = 0, если Q лежит ва S

то получаем окончательное представление гармонической функции ф через ее граничные аначения:

ф (S, (G)dS (97)

в

В этой формуле dG/dn есть значение нормальной производной от функции Грина, рассматриваемой как функция точки Q в точке Q (|, т), Q поверхности S.

Дадим пример решения задачи Дирихле при помощи функции Грина. Допустим, что поверхность S есть сфера радиуса а с центром в начале § 19 определение вектора по его вихрю и расхождению

235

координат. Пусть мы хотим определить значение функции ср в точке P (X, у, z), лежащей внутри зтой сферы и отстоящей от центра этой сферы на расстоянии OP = R. Обозначим через Р* точку, симметричную ¦с точкой P относительно сферы S, т. е. точку, лежащую на продолжений радиуса OP и отстоящую от точки О на расстоянии OP*, таком, что

OP* OP = с?

Координатами точки P*, очевидно, будут

а*х

X =



Vt-г*

ж__OtV

У ~ !» + ігЧ-г*1

a?z

** + JZ1H- **

Обозначим еще через г* = P*Q расстоиние переменной точки Q пространства от точки Р*. Заметим теперь, что если точка Q лежит на поверхности сферы S, то, согласно задаче 40 § 5, мы имеем соотношение

Фиг. 67

г* а „„„ 1 а

— = — или — =-

г R г Дг*

ва S

(98)

Но функция -g, а, следовательно, и -j^, очевидно, являются гармоническими функциями от точки Q внутри сферы S. Сравнивая соотношение (98) с формулой (95), мы видим, что можно принять

g (х, у, г; І, Tl, ?) = g (P, ?)=--^-5 =

OP Р*0

V«? - 2а» (*? + ут\ + ф + (т* + у* + (I* + г)* + ?*)

и следовательно,

Вычисляем теперь

G(PtQ) = ^r-fc

(99) (100)

gradQ G = —75 + ? 755 где г = PQ, г* = P*Q\ поэтому при обозначении! фиг. 67 OG Л п COS а а COS ?

дК = e-gradq G-----ж —

принимая теперь во внимание, согласно фиг. 67, что

г cos а = а — R cos 9, г cos ? = a cos в — R аг

легко найдем, что

эе

дп

' R

а' — Д» аг» 236

векторный анализ

Fn. II

Поэтому для сферы решение задачи Дирихле дается так называемым' интегралом Пуассона

фот-it=aSliS5 w

S

где R = OP, Г = PQ.

Рассмотрим теперь вопрос о решении поставленной в самом начале этого пункта задачи Неймана. В этом случае иа поверхности S заданы значении нормальной производной искомой гармонической функции <р, и потому нужно попытаться исключить из формулы (93) «ходящие в нее значения функции ф на поверхности. Для этого попытаемся найти такую-функцию H \х, у, z; ?, т), ?) = H (Р, Q), которая удовлетворяет следующим условиям: функция

k(P, Q) = И(Р, Q) (102>

рассматриваемая как функция точки Q, есть гармоническая внутри S функция, далее на поверхности S производная функции H по нормали имеет постоянное значение и именно равное

где S есть величина площади всей поверхности S. Как видим, для определения функции h нужно опять решить задачу Неймана, но при совершенно определенных граничных условиях. Мы знаем уже, что этими условиями функция h определяется с точностью до произвольной постояв-ной. Можно полностью определить Н, если поставить еще требование, чтобы

~H(P,Q)dS= 0 (Ю4>

§

Комбинируя теперь равенство (93) с равенством

S S

вытекающим ие формулы Грина (38) (ибо ДА — Дф = 0), мы получим, что Ф (^) = ± § H (Р, Q) rfS - л. § ™ у dS

8 S

В силу условия (103) последний интеграл правой части будет произвольной постоянной величиной

--^-фф (0 dS = const

S

Следовательно, мы получаем окончательное представление гармони-ческой функции ф через граничные значения ее нормальной производной:

* W = ?Г$Я «Й- + с (105>

S § 19

определение вектора по его вихрю и расхождению

237

Сделаем по поводу задачи Неймана одно замечание, а именно: аначе-вия нормальной производной дер/дп гармонической функции не могут задаваться на поверхности S произвольно, так как они всегда связаны условием
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed