Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
то вектор а будет, очевидно, определяться формулой
а (х, у, г) = grad <р + rot А (76)
где
= A(w) = ^ ^O" {77)
СО OO
При этом мы предполагаем функции р и се непрерывными и ограниченными вместе с их первыми производными во всем пространстве, аа исключением разве лишь конечного числа поверхностей.
На этих поверхностях вектор в> может терпеть разрыв только в касательной своей составляющей, нормальная же его составляющая должна оставаться непрерывной. Функция в> должна удовлетворять еще условию div ш = 0. Мы предполагаем далее, что функции р и w во всех точках пространства удовлетворяют неравенствам
]pR2+k\<K, I«Да+ХI < К (78)
где О < Ji < 1,. К — конечное число, a? = Ki* + Л* + есть расстояние точки, в которой берутся значения р и ш до начала координат;, § 19 определение вектора по его вихрю и расхождению
231
Докажем теперь, что найденное вами решение (76) системы (75) есть единственное решение атой системы, удовлетворяющее следующему условию на бесконечности
]аЛ1+х|<і при Д — оо (79)
где L есть конечное число.
Сначала докажем, что не может быть двух решении системы (75), удовлетворяющих условию (79). В самом деле пусть а, и а2—два решения системы (75) и пусть оба эти решения удовлетворяют условию (79). Составим разность b = B1 — аа. Тогда аз (75) ясно, что во всем бесконечном пространстве
div Ь = 0, rot b = О
Из последнего уравнения видно, что
Ь = grad if
а из первого, что
Дір = О Далее из (79) находим, что
IgradtfK-^r (80)
при всех достаточно больших R. Возьмем теперь любые две точки M ж M', лежащие на радиусе из начала координат; тогда мы будем иметь
M' M'
ф (M') — if (Л/) = t grad ф -dr = ^ ^dr (81)
и к
причем в силу того, что при больших R,
І дт|> I 2L
I вг I ,Л-*
интеграл в правой части предыдущей формулы будет сходиться, если M' —» оо. Итак, функция ф имеет на бесконечности определенное значение. Но ведь вектор b — grad ф не изменится, если мы значения функции ф всюду изменим на одно и то же число. Введем поэтому вместо ф другую функцию
ф (M) = ф (M) — ф (оо)
Тогда опять будет
— — — 2L
b = grad ф, Дф = 0, j grad ф | < (82)
Наконец, из формулы (81) при M' = оо вытекает, что
(83)
Но в силу сказанного в конце п. 5, из условий (82) и (83) вытекает, что гр = О и следовательно b = 0, т. е. at = аа, что и доказывает единственность решения (76). векторный анализ
Гл. П
Докажем теперь, что вектор а, определенный формулами (76) и (77), удовлетворяет условию (79). Прежде всего, мы имеем
grades,
оо
как это следует из формулы (55). Вычислим далее
rot А = rot, 5 !ЩО* = ^ rotP ^
OO OO
Применим теперь формулу
rot (фи) = ф rot и + grad ф х и і
положив в ней ф = —, u=w (Q), причем заметим, что, поскольку дифференцирование производится по точке Р, а вектор w (|, т|, Q от точки P не зависит, этот вектор должен считаться постоянным. Итак,
rotp ^ = grad I У w(Q) = - ? X «о (<?)
В результате мы получаем, что
a (Xl ,, j - ft PjSlldfiSLXlrt (84)
OO
Принимая теперь во внимание условия (78), легко выведем, что
\a(x,y,z)l (85)
OO
где
R = V? + if 4- /» = (X - + (У - "П)а + (г-04, dV^dl di\dl
Обозначим расстояние точки P (ж, у, г) до начала координат, т. е. Kx2 + у1 + г2, через и и заметим, что интеграл в правой части (85), очевидно, может зависеть только от к:
[^krdv = (86>
OO
Возьмем на радиусе OP точку P', отстоящую от начала координат
О на расстоянии, равном единице. Для точки P' мы имеем
= (87>
OO
Сопоставим теперь всякому элементу объема dV интеграла (86) элемент объема dV', получающийся из dV преобразованием подобия, переводящим точку P в P'. Ясно, что тогда окажется
OP = VL-OP', dV = uW, R = иЛ', г = иг' § 19 определение вектора по его вихрю и расхождению 233
и, следовательно,
/(„)= t 1 dV = ц3 С_/Ц)
OO OQ
Итак,
а это и есть то неравенство (79), которое мы хотели доказать.
Итак, найденное нами решение есть единственное, удовлетворяющее-условию (79).
Если этого условия не поставить, то решений системы (75) получится^ бесконечно много. Например система
div а = 0, rot а = О
имеет такие решения:
а = const, а = zi — yj, а = a;j -j- yi и т. д.
Но, конечно, все эти решения не удовлетворяют условию (79). Заметим, что в формуле (76) первый вектор справа есть потенциальный, а второй — соленоидальный. Таким образом, как следствие полученных результатов, мы нашли возможность разложения вектора а. на сумму двух векторов, из которых один будет потенциальным, а другой — соленоидальным.
9. Переходим к решению третьей задачи, поставленной нами выше-в п. 3. Эта задача еостоит в отыскании вектора а, удовлетворяющего-внутри области V условиям
div а — 0, rot а = О (88)
а на границе S этой области — условию
а„ = f (M) кз S (89)-
Из системы (88) следует, что
а = grad q>, Дф = О (90>
а из уравнения (89), что
g = /(m)na? (91)"
Таким образом, необходимо определить гармоническую функцию ф, нормальная производная которой принимает заданные значения на поверхности S (задача Неймана).
