Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
и, следовательно,
(71)
Заметим, что если жидкость ограничена неподвижной твердой стенкой, то вдоль нее жидкость может только скользить, так что на такой стенке непременно должно быть
= о (72)
и следовательно, в нашем случае
S = O (73)
В частности, если жидкость заполняет односвязную область, ограниченную исключительно только неподвижными твердыми стенками, то она не может совершать никакого безвихревого движения. В самом деле, в этом случае потенциал скорости ф — непременно однозначная функция, и, следовательно, применима формула (71); но так как на всей поверхности S выполняется условие (73), то 7 = 0, т. е. кинетическая внергия жидкости равна нулю, следовательно, все ее частицы покоятся,
4. Рассмотрим аналогичный предыдущему вопрос об энергии электростатического поля. Мы уже знаем, что электрическое поле определяется потенциальным вектором
E = — grad ф (74)
Если поле происходит от одного заряда е, находящегося в начале координат, то
Ф = f (75)
Сила, действующая на заряд ei, будет равна
F = etE = — ех grad ~ (76)
Подсчитаем ту работу, которую надо ватратить, чтобы перенести заряд ех из бесконечности в данное положение M (г); эта работа, очевидно, равна той работе, которую совершает сила F на перемещение заряда из точки M в бесконечность:
W
= ^ F.tfr = _ Єі Jgrad f.tfr = - Єі J d(±) = -A (77) tee
ВВКТОРНЫЗ АНАЛИЗ
Гл. II
Полученную величину можно назвать потенциальной энергией системы двух зарядов.
Пусть теперь имеем систему п зарядов ег, е2, ... , еп, находящихся в точках M1, M2, . . . , Mm и пусть Гц, означает расстояние между точками Mi и Mk. Тогда мы получим потенциальную энергию системы этих зарядов, образовав всевозможные произведения
_еіек ri*
и взяв их сумму:
^ = J І ^ (78)
причем коэффициент нужно взять потому, что каждая комбинация значков і и к встречается дважды.
В рассматриваемом случае мы имеем для потенциала выражение
" eX
ф-Зч (79>
4=1
где гн — расстояние переменной точки Mц до точки М. В частности мы ямеем, что
«Pt = ф (M1) = 2 -Г (80)
»=1 4*
есть значение в точке Mi потенциала, происходящего от всех остальных зарядов (штрнх у суммы показывает, что при суммировании надо пропустить значение к — і). Так как
го получаем, что
п
Wr=-I-Sw (81)
г=|
Допустим теперь, что мы имеем непрерывное распределение зарядов по некоторому объему V; если объемная плотность зарядов ость р, то в элементе объема dV будет находиться заряд pdV; обозначая соответствующее значение потенциала через ф, получим вместо (81) формулу
= ^pydV (82)
W-.
-V
определяющую потенциальную энергию заданного поля зарядов.
Так как вне объема V плотность электрических зарядов р = 0, то можно также написать
W = ^pydV (83)
v,
где V1 — любой объем, охватывающий V. i 17 некоторые формулы с дифференциальными операциями 187.
Но мы видели (§ 15, п. 7), что плотность электрических зарядов определяется равенством
div E = 4яр (84)
или, что то нее, равенством
Дф = — 4лр (85)
Поэтому, выражая потенциальную энергию W через значение ф, будем
иметь в силу формулы (83)
w = фЛчнЛ; <М)
V1
Воспользуемся теперь формулой (18), в результате получим
W =ST S ^rad ^ ™ — SS- §<Р S" iS <87>
V1 S,
где IS11 — поверхность, ограничивающая V1. Возьмем за сферу весьма большого радиуса R, который мы будем затем стремить к бесконечности, и заметим, что если все заряды находятся на конечном расстоянии, то дляф и дщідп мы будем иметь, как можно доказать на основании результатов одного из дальнейших параграфов, оценки
,, л |дф і в
где А и В — постоянные числа. Поэтому, так как величина сферы .S1 равна 4л/?2, мы будем иметь
I*
9о ,[,I ^A В , п, Ал AB
V^ds < -я Wisui = —
Отсюда следует, что
Iim <$фp-dS = О А тогда из формулы (87) вытекает, что
^=Wad ф)2 fl^ ^sHs3fl"7 (88)
Oo OO
где интегралы берутся по всему бесконечному пространству.
Полученный результат мы можем иначе истолковать следующим образом: в электростатическом поле энергия распределена по всему пространству, причем на каждую единицу объема приходится количество энергии, равное
8п
= 8ir<grad ^s <89> 188
векторный анализ
Гл. tl
5. Рассмотрим в заключение этого параграфа несколько задач. Задача 126. Доказать формулы
(y-V) <ра = a (v-grad <р> + ф (v-V) а (90)
c-grad (а-Ь) = а-(с-V) Ь + b-(c-V) а (91)
(C-V) (axb) = ах (C-V) Ь—bx(c-V) а (92)
(аXЬ)• rot с = b-(a-V) с — a-(b-V) с (93)
(по поводу последней формулы см. зад. 57).
Задача 127. Доказать следующие формулы
(ах V)xb = (a-V) Ь + axrot Ь — a div Ь (94)
(а X V) X г = — 2а (95)
(V х а)х Ь = — (а-V) Ь — axrot Ь + rot ах Ь + a div Ь (96)
Задача 128. Доказать следующие формулы, являющиеся аналогичными формуле Гаусса — Остроградского:
& <ра„ dS = Ї (ср div а ¦+- a-grad ф} dV (97)
8 V
ф (ах Ь)п dS = ^ {b-rot а — a-rot b) dV (98)
Задача 129. Доказать следующие формулы
фф dS = ^ {ф div (ф grad х) + ф grad ф -grad у} dV (99)
