Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
положения А (фиг. 2) в положение В (прямолинейный отрезок AB есть вектор а, т. е. AB — а), второе перемещение переведет рассматриваемую точку из положения В в поло-
A^-5--жение С, такое, что ВС = b. В результате
фиг 2 точка перейдет из Л в С. Перемещение AC
определяет вектор с, который естественно назвать суммой векторов а и Ь. Отсюда вытекает следующее определение:
Чтобы получать вектор с, представляющий геометрическую сумму двух векторов а и Ь, надо от произвольной точки А пространства отложить вектор а, к концу его приложить начало вектора b и соединить точку А с концом С вектора Ъ, тогда AC по величине и направлению представляет с.
Для обозначения операции сложения векторов пользуются обыкновенным знаком алгебраического сложения:
с = а + Ь (1) % 2
СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ И РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ Ц
Векторы а и b называются слагаемыми векторами, вектор с — геометрической суммой или результирующим вектором.
Из фиг. 3 видно, что сумма двух векторов аиЬ является диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых векторах а и Ь. Отсюда сразу вытекает формула
а + Ь =b + а
(2)
выражающая коммутативность (т. р. переместительность) геометрического сложения: геометрическая сумма не меняется от перестановки слагаемых.
Мы останавливаемся на этом простом свойстве геометрической суммы потому, что некоторые операции векторного исчисления таким свойством не обладают.
Чтобы образовать сумму трех векторов a, b и с, мы складываем сначала а с b и к результирующему вектору прибавляем е, окончательно получаем (фиг. 4) вектор AD; ив чертежа очевидно, что тот же самый результат получится, если к а прибавить сумму b + е, таким образом имеем формулу
(а + Ь) + с = а + (Ь + с) = а + Ь + с (3>
выражающую ассоциативность (сочетательность) геометрического сложения: в геометрической сумме скобки можно раскрывать и вводить как в обыкновенной алгебре.
Для сложения трех и более векторов получается таким образом правило многоугольника векторов: надо последовательно отложить в любом порядке векторы alt а2, . , . , а«, совмещая начало каждого следующего с концом предыдущего, и образовать замыкающую яипшо полученной-ломаной линии, ведя ее от начала первого вектора к концу последнего. Из коммутативности и ассоциативности сложения вытекает, что мы можем складывать векторы в любом порядке, в частности можем заменять любое количество их соответствующим результирующим вектором.
Отметим особо правило сложения трех векторов, не лежащих в одной плоскости: геометрическая сумма таких трех векторов изображается диагональю параллелепипеда, построенного на данных трех векторах, как на ребрах. Так например, на фиг. 8 вектор OD равен геометрической сумме векторов OK, OL и ОМ.
2. Перейдем к вычитанию векторов. Рассмотрим тот частный случай сложения двух векторов lib, когда результирующий вектор сведется, в точку, т. е. обратится в нуль (фиг. 5):
Фиг. 4
a -H Ь = О
(4)1 10
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕВРА
ГЛ. I
Фиг. 5
Очевидно, в этом случае вектор Ь равен по величине, но противоположен но направлению вектору а.
Если бы с уравнением (4) можно было поступать по правилам обычной алгебры, то мы легко вывели бы, что
Ь = — а (5)
В соответствии с этим под вектором — а мы будем понимать вектор, противоположный а, т. е. равный по величине, но противоположный по направлению вектору а.
Вычитание, как действие, обратное сложению, определяется следующим обрааом: вектор х — а — Ь называется разностью векторов а ш Ь, если сумма sib дает а:
X + Ь = а (6)
Прибавляя к обеим частям этого уравнения вектор — Ь, мы получим: а — Ь = X = а + (— Ь) (7)
Таким образом, чтобы вычесть из вектора а вектор Ь, надо прибавить к вектору а вектор — Ь, противоположный вектору Ь. Иначе можно получить вектор а — Ь следующим образом: отложив оба вектора а и Ь от общего начала О, проведем вектор из конца В вектора b к концу А вектора а (фиг. 6), это и будет а — Ь.
В самом деле:
BA= № + OT= — Ь + а
Таким образом, в параллелограмме, построенном на а и Ь (фиг. 6), одна диагональ представляет сумму векторов а и Ь, другая — их разность.
3. Нужно отметить, что правило параллелограмма для геометрического сложения векторов ограничивает область направленных величин, которые мы можем назвать векторами. Например, вращение твердого тела около некоторой оси на конечный угол может быть представлено направленным отрезком, но это не будет вектор, ибо два последовательных вращения около разных осей складываются (как доказывается в кинематике) не по правилу параллелограмма, а по более сложному закону. Это объясняется тем, что направленная величина, представляющая поворот твердого тела на конечный угол около некоторой оси, являэтся тензором, т. е. величиной более сложного характера, нежели вектор. Напротив, бесконечно малые вращения могут быть представлены векторами, ибо для них правило параллелограмма справедливо, так же как .для сил, скоростей и т. д.
Фиг. 6 % 2 СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ И РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ Ц
Таким образом, точнее было бы определить вектор как величину, характеризующуюся своим численным значением, своим направлением в пространстве и подчиняющуюся правилу геометрического сложения.
