Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Производная суммы равна сумме производных. Пусть имеем два вектора a (t) и Ь (?), тогда
W + Ь <t)i = Да+ДЬ
Постоянный множитель можно выносить из-под знака производной:
eflma (<)] _rfa (t) , ..
dt — т -^j (т - const) (7)
Беля т есть тоже функция от t, то справедлива формула дифференцирования произведения:
d (та) da , dm 0,
-V= mTt + Tt а &
Для доказательства составляем:
dina ,. (т -ь Диг) (a -t- Да» — та ,. Дта -I- (»Да -4- ДпгДа dm. , da - = tun і—-'-^lr.-'--= lim -1———]-= -T7 a 4- m —
Точно так же доказываются формулы дифференцирования скалярного и векторного произведений:
^ = Sxb + ax§ (10)
Относительно последней формулы нужно заметить, что в ней порядок множителей в каждом члене имеет строго определенное значение и не может быть переставляем. 80
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
Правило дифференцирования сложных функций применяется и к векторам, так что если t будет в свою очередь функцией другого скалярного аргумента и, то
- = -- (Ii)
du dt du ^11'
Если вектор a (?) разложен по постоянным ортам i, j, k: a (t) = ах (i) 1+? (г) j + az (t) k то, по только что выведенным формулам, найдем: da da,, da,
откуда выводим, что компоненты ар оизводной вектора равны производным от компонентов данног» вектора.
4. Введем в рассмотрение длину вектора а (г) и его орт H1 (г), так что
а (г) = а (/) а, (г) (13)
Тогда будем иметь:
Tr=Ea*+eTi <14>
Различим три случая.
а) Пусть вектор а (г) меняется только по величине, не меняясь по направлению; в этом случае
aj = const
а. следовательно,
S-O
а значит
^=Sa1 (15)
Таким образом проиаводная имеет то же направление (или прямо противоположное), что и сам вектор. Это ясно геометрически, ибо в рассматриваемом случае годографом служит прямая, проходящая череа начало координат.
б) Пусть вектор a (t) меняется только по направлению, не меняясь по длине. В этом случае годографом служит кривая, лежащая на сфере радиуса а, и геометрически ясно, что производная вектора, будучи каса-тельна к этой кривой, а следовательно и к сфере, будет перпендикулярна к самому зектору. Докажем это векторно.
Имеем
a = const
Следовательно,
а-а — a? = const (16)
Поэтому
da <2а с, da п 5 9 ПЕРЕМЕННЫЕ ВВКТОРЬІ. ЗАВИСЯЩИЕ от СКАЛЯРНОГО АРГУМВНТА 81
da
а значит — перпендикулярен к а, что и требовалось доказать. В рассматриваемом случае
da
Найдем величину вектора ^. Отложим
для двух соседних значений t и t + Дї и обозначим угол между ними через Д<р.
Величина приращения Даі, представляющего основание равнобедренного треугольника, равна 2 sin -і- Д<р, поэтому
daі
(18)
40) значения ах (г)
I =HmIiSJ =
2 sin іїз
Дф
== lim -
41-Ю
At
- = Iirn^f (19)
Обозначая предел отношения угла поворота вектора к приращению аргумента через
(о = 1ІШ ^r;
At-Hi
Дг
будем поэтому иметь
Idai
ж
Ida I
= ш' ы
(20)
dai
Из фиг. 40 видно также непосредственно, что перпендикулярно
к ai, ибо в силу равнобедренности треугольника OAA' углы при его основании оба стремятся к прямому, когда At —» О.
в) Пусть, наконец, а (<) меняется как по длине, так и по направлению. В этом случае формула
da . da dai
.(21)
дает разложение проияводнои вектора а на две составляющие, из кото-
da
рых первая направлена по вектору а я имеет значение ^ , а вторая
направлена по перпендикуляру кав имеет величину
I da, І a|dT| = a<0
5. Формула Тейлора, дающая разложение скалярной функции в ряд по возрастающим степеням приращения аргумента:
/(t)-/ (fa) + (t- to) Г (to) + f (to) , . . + [/"" (?) +- в]
(22)
остается верной и для векторов;
а (О = а («о) -І- (і - Ц a' (to) +- a" (to) + ... + [a«"' (to) + е]
(23)
6 Н. В. Кочия 82
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
Вывод формулы (23) совершенно аналогичен выводу формулы (22), почему мы на нем не останавливаемся.
Можно доказать (23) еще иначе: написать ряды Тейлора для функций ах (t), Ov (г), аг (t), умножить их на i, j, к и сложить.
Дадим теперь понятие об интеграле от вектора по скалярному аргументу. Если
то а (?) называется и обозначается
da ,
St =Ъ
неопределенным интегралом от
а (г) =^b (г) dt + const (24)
Определенный интеграл
<
^ Ь dt = a (t) - а (го) (25)
Фиг. 41
равный разности значении вектора а для границ интегрирования, можно еще рассматривать, как предел некоторой суммы векторов
\b?O = Ilm V b (?,) (гі+1 -
у П-*05 .
td
(26)
где Ii — ряд значений аргумента t, вставленных между іо и t = ?n+i> притом таким образом, что при стремлении я к бесконечности все разности ti+1 — Ii стремятся к нулю.
Доказательство формулы (26) совершенно такое же, как для скалярных функций, почему мы на нем не останавливаемся. Впрочем, можно сразу доказать формулу (26), написав ее для Ьх, b„, bz, умножив на i, j, k и сложив.
6. Дадим теперь несколько приложений дифференциального исчисления векторов.
Пусть точка M с радиусом-вектором г описывает некоторую кривую в пространстве (фиг. 41).
