Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
6. В § 6 мы ввели понятие о главном векторе Rno главном моменте Lo относительно точки О системы сил, приложенных к твердому телу:
R= F1 + Fa + ... -Ъ Fw L0 = T1X F1 + г» X F2 4- ... 4- rn X Fb { g ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 73
н показатели, что главный момент относительно всякой точки С может быть вычислен по формуле
Lc = L0 — IcXR
где те — радиус-вектор точки С.
Геометрическое место таких точек С, для которых главный момент параллелен главному вектору, называется центральной осью системы. Поставим задачу отыскать ее.
По условию, для точек центральной оси
LsXR = O
t. е.
L0XR — (rcxR)x R = 0
Отсюда
L0X R — R (rc-R) + rc(R.R) = О
Предположим, что (гс• R) = ji, тогда можем решить уравнение относительно T0
Гс = -UXB (30)
Величина (1 остается неопределенной, поэтому конец радиуса-вектора г,, лежит на прямой линии, параллельной главному вектору. Значит, центральная ось есть прямая, параллельная главному вектору. Формула
г rXU
гс — да
дает возможность построить одну ее точку, зная R и Le. Нужно отложить по перпендикуляру к плоскости, содержащей R и L0, в ту сторону, откуда врашение от R к L0 кажется совершающимся по часовой стрелке (для левой системы координат), отрезок длины
L0 sin (L0, R) R
Полученная точка будет одной нз точек центральной оси. Так как для точек центральной оси главный момент параллелен главному вектору, то для этих точек главный момент достигает своего минимума. В самом деле, в § 6 была доказана инвариантность
L0-R = LaR cos (L8, R)
а следовательно, неизменность проекции главного момента на главный вектор. Поэтому величина главного момента L0 обратно пропорциональна cos (L0, R) и, следовательно, достигает своего минимума тогда, когда cos (L0, R) достигает своего максимума 1, т. е. когда L0 параллельно R. Разберем еще несколько задач. Задача 66. Найти точку пересечения плоскости
га = т
(31) 74
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБР А
Гл. I
и прямой
rxb = B {В.Ь = 0} (32)
не параллельной илоскости. Так как плоскость перпендикулярна вектору а, а прямая параллельна вектору. Ь, то условие параллельности плоскости и прямой есть a-b = 0, значит у нас a- b =/= 0.
Составим двойное векторное произведение
ax(rxb) = ахВ
Раскроем его
г (a.b) — b (г.а) = ахВ
Решаем относительно г, воспользовавшись данным выражением для г-а:
'-Й+S (33)
Можно проверить, что это действительно есть решение и притом единственное, но геометрически это совершенно ясно.
Задача 67. Найти условие, при котором три плоскости
г-а = а, г.Ь = ?, г-с = у (34)
параллельны одной прямой.
Чтобы плоскость г»а = л была параллельна вектору d, необходимо я достаточно, чтобы а было перпендикулярно к d. Если все три вектора a, b и с перпендикулярны к d, то они компланарны, обо они все параллельны плоскости, перпендикулярной к d. Обратно, если а, Ь, с компланарны и если плоскость, которой все они параллельны, перпендикулярна вектору d, то и а, Ь, с перпендикулярны к d, следовательно, плоскости (34) параллельны d. Поэтому искомое условие совпадает с условием компланарности векторов а, Ь, с, т. е.
a-(bxe) = 0 (35)
З а д а ч а 68. Найти уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M1 (T1)1 Mi (r3), M3 (rs), предполагая три вектора ґі, га, г» некомпланарными.
Допустим, что искомое уравнение есть
а - г = т
Тогда, раз точки M1, Mi, M3 лежат в плоскости, мы имеем следующие три уравнения;
а • г, = т, а-г2 = т, a<r3 = т
Если векторы T1, г3, г3 не компланарны, то эти уравнения можно решить по формуле (20):
а = mrx* + mr2* + mr3* = m г' х » + » х * + ґіХ r^
123 г,-(га X rs) ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
75
так что искомое уравнение будет
(Г»ХГ„ + Г,XT1 + Г, X Г„) • Г = T1-(FsXTll) (36)
Задача 69. Найти кратчайшее расстояние между двумя непараллельными прямыми
rxa = А {А-а = 0} (37)
гх b — В (В-Ь = 0}
Возьмем какую-нибудь точку M1 на первой прямой, и пусть ее радиус-вектор есть Гц другую точку M2 с радиусом-вектором г8 возьмем на второй прямой. Тогда
T1Xa = A, r8x b = В
Умножим первое уравнение скалярно на Ь, второе уравнение скалярно на а:
foxaj-b = А-Ь «ли г,.(axb) = А-Ь (r,xb)-a = В-а или r,-(bxa) = В-а
Сложим эти уравнения
(г, — ra)-(axb) = А-Ь + В-а
Обозначим на время а х Ь = с, тогда
(*і — «ї)*в = А-Ь + В-а
т. е.
M1Mi cos (M^Mu с) =
Следовательно, проекция M3Mi на направление вектора с постоянна. А значит MlMi будет иметь наименьшую длину тогда, когда MlMt будет совпадать по направлению с с = ах Ь, т. е. будет общим перпендикуляром к обеим прямым.
Величина же этого кратчайшего расстояния есть
d - 'А-Ь + В,а1 ram
®--IaxbI (38>
Отсюда сразу получаете» условие того, чтобы две прямые. (37) пересекались:
А.Ь+В.а=0 (39)
так как тогда кратчайшее расстояние должно равняться нулю.
Задача 70. Возьмем шесть векторов а, Ь, с, d, е, t и докажем следующее тождество:
a-il b-d cd [a-(bxc)][d-(ex f)l = a-e b-e c-e a-f b-f с-f
(40) 76
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБР А
Гл. I
Предположим для простоты векторы a, b, с некомпланарными, тогда можем разложить векторы d, е, ( по а*, Ь*, с*
