Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 25

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 144 >> Следующая


г-а = а

г. Ь = 0 (12)

г.с = Y

где a, b и с образуют систему трех некомпланарных векторов, необходимым и достаточным условием чего является

а.(Ьхс)=,!= 0 (13)

Геометрическое значение решения этой системы легко выяснить, если считать г радиусом-вектором некоторой точки относительно начала координат. Тогда конец г должен лежать в трех плоскостях, определяемых каждым из уравнений системы, так что задача сводится к нахождению точкв пересечения трех плоскостей

Мы начнем с решения более простой системы, а именно

г-а = 1

г- b = 0 (14)

г-с = 0

Два последних уравнения указывают на перпендикулярность г как к Ь, так икс, следовательно, на параллельность г вектору Ьхс, так что

г = m (Ьхс)

где т — подлежащий определению скаляр, который можно найти иа первого уравнения системы (14)

m|a.(hxc)t - 1 70

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБР А

Гл. I

(15)

Отсюда

1

т = —л—г

а-(Ьхс)

Таким обравом решение системы (14) есть

f — Ьхс ~~ а.(Ьхс)

Обозначим этот вектор через а*.

Точно так же можно найтп решение диух других систем, а именно: г-а = 0, г-а = 0

г-Ь = 1, г-Ь = 0 (16)

г«с = 0, г. с = 1

виде векторов Ь* и с*

ь* - в*а - с* - ахЬ f І 7%

Три вектора а*, Ь* и с*

Ьхс ь* = «ха ^ с» _ axb ^18J

а.(Ьхс)' а-(Ьхо)' я.(Ьхс)

называются взаимными с а, Ь и с векторами.

Они получились у нас как решение трех систем уравнений:

а*.а = 1, Ь*.а = 0, с*-а = 0

а*-Ь — 0, Ь*-Ь=1, с*-Ь = 0 (19)

а».с = 0, Ь*-с = 0, с*-с = 1

Теперь легко убедиться, что вектор

г - аа* -f Pb* -f YC* (20)

является решением данной системы уравнений

г.а = а r-b = р

г-с = Y

В самом деле, проверим, например, первое, уравнение

г.а «= (аа* -I- ?b* -t- YC*)-a = а (а*.а) + ? (Ь*-а) + Y (с*-а) = а

Это решение единственное. В самом деле, если бы имелось диа решения г' и г* предложенной системы, то разность г' — г" была бы решением системы

(r' — г")-а = 0 (г' — г*)-Ь = 0 (г' — г").с = 0 { g ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ

71

т. е. вектор г' — г" был бы перпендикулярен сразу к трем некомпланарным векторам a, b и с, что невозможно.

Особенно просто определить систему взаимных векторов для системы ортогональных ортов i, j и k. В самом деле, вычислим:

i* = dSo=jxk = i' •і* = -'' к* = к (21)

Таким образом, в этом случае взаимные векторы совпадают с исходными векторами.

4. Докажем теперь, что и обратно: векторы а, Ь, с являются взаимными для системы векторов а*, Ь* и е*. Отметим, прежде всего, что векторы а*, Ь* и с* некомпланарны. Если бы а*, Ь* н с* были компланарны то один из них можно было бы выразить через два других но формуле вида

с* = ma* -I- пЬ*

Но тогда, по скалярном умножении на с, мы получили бы противоречие

1 = с*-с »= m (а*.с) + л (Ь*-с) = О

Докажем некомпланарность векторов а, Ь, о еще другим способом, а имецно, непосредственным вычислением

а* - (Ь* X с*) - [а.(ьхс)], {(b X с). [(с X а) X (а X Ь) ]>

Но в задаче 59 было найдено, что

(bxc). [(cxa)x(axb)] = [а.(Ьхс)]*

Поэтому

а*-<Ь* Xе*) =MRST (22)

Раз а*• (Ь* X с*) =^= 0 векторы, а*, Ь*, с* не могут быть компланарными, Попутно мы получили, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а*, Ь*, с*, обратен объему параллелепипеда с ребрами а, b а с и что векторы а*, Ь*, с* образуют систему координат того же вида (правую или левую), что и а, Ь, с.

Теперь доказательство взаимности векторов а, Ь, с с векторами а*, Ь*, с* не представит никаких затруднений. Достаточно сгруппировать уравнения системы (19) в три системы, относя в каждую три уравнения, стоящие в одной и той же строке, чтобы сразу увидать, что векторы а, Ь, с взаимны с векторами а*, Ь* и с*.

5. Еще в самом начале курса мы видели, что всякий вектор d может быть разложен по трем некомпланарным векторам a, b и с:

d = та + »b + joe (23)

При помощи взаимных векторов очень легко найти коэффициенты этого разложения. 72

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

В самом деле, умножим обе части уравнения скалярно на а*, тогда, так как

= 1, Ь.а* = 0, с-а* = О

мы сразу получим

т — d-a*

Точно так же найдем

Значит

п = d'b*. р — d-c*

d = (d-a*) a + (d.b*) Ъ + (d.c*) с =

_ [d*(bxc))a + [d.(cxa)} b + {d.(aX b)] о а.(Ьхе)

(24)

(25)

(26)

Эта формула другим путем была нами получена в задаче 58. Получили пример определения трех скаляров нз одного векторного уравнения. Прием решения состоит, как видим, в скалярном умножении на три некомпланарных вектора.

Разлагая d по векторам а», Ь*, с*, мы точно так же получили- бы

d = (d-a) a* + (d-Ь> Ь* + (d-c) с*

(27)

Полученные формулы имеют тесную связь с решением системы трех уравнений с тремя неизвестными. В самом деле, уравнение (23) равносильно трем алгебраическим уравнениям:

dx = тах + nbx + рсх

dy = may + пЬу + рсу

(Lc = таг + nbz + рсг е тремя неизвестными т, п а р. Мы нашли решение в виде;

dx dy dz

(28)

d.a* = d,<b*c> -a'a a.(bxc) -

"V

Cv

bX K Cx Cv

(29)

и две аналогичные формулы для пир. Таким образом мы восстановили решение системы трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed