Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
г-а = а
г. Ь = 0 (12)
г.с = Y
где a, b и с образуют систему трех некомпланарных векторов, необходимым и достаточным условием чего является
а.(Ьхс)=,!= 0 (13)
Геометрическое значение решения этой системы легко выяснить, если считать г радиусом-вектором некоторой точки относительно начала координат. Тогда конец г должен лежать в трех плоскостях, определяемых каждым из уравнений системы, так что задача сводится к нахождению точкв пересечения трех плоскостей
Мы начнем с решения более простой системы, а именно
г-а = 1
г- b = 0 (14)
г-с = 0
Два последних уравнения указывают на перпендикулярность г как к Ь, так икс, следовательно, на параллельность г вектору Ьхс, так что
г = m (Ьхс)
где т — подлежащий определению скаляр, который можно найти иа первого уравнения системы (14)
m|a.(hxc)t - 170
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБР А
Гл. I
(15)
Отсюда
1
т = —л—г
а-(Ьхс)
Таким обравом решение системы (14) есть
f — Ьхс ~~ а.(Ьхс)
Обозначим этот вектор через а*.
Точно так же можно найтп решение диух других систем, а именно: г-а = 0, г-а = 0
г-Ь = 1, г-Ь = 0 (16)
г«с = 0, г. с = 1
виде векторов Ь* и с*
ь* - в*а - с* - ахЬ f І 7%
Три вектора а*, Ь* и с*
Ьхс ь* = «ха ^ с» _ axb ^18J
а.(Ьхс)' а-(Ьхо)' я.(Ьхс)
называются взаимными с а, Ь и с векторами.
Они получились у нас как решение трех систем уравнений:
а*.а = 1, Ь*.а = 0, с*-а = 0
а*-Ь — 0, Ь*-Ь=1, с*-Ь = 0 (19)
а».с = 0, Ь*-с = 0, с*-с = 1
Теперь легко убедиться, что вектор
г - аа* -f Pb* -f YC* (20)
является решением данной системы уравнений
г.а = а r-b = р
г-с = Y
В самом деле, проверим, например, первое, уравнение
г.а «= (аа* -I- ?b* -t- YC*)-a = а (а*.а) + ? (Ь*-а) + Y (с*-а) = а
Это решение единственное. В самом деле, если бы имелось диа решения г' и г* предложенной системы, то разность г' — г" была бы решением системы
(r' — г")-а = 0 (г' — г*)-Ь = 0 (г' — г").с = 0{ g ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
71
т. е. вектор г' — г" был бы перпендикулярен сразу к трем некомпланарным векторам a, b и с, что невозможно.
Особенно просто определить систему взаимных векторов для системы ортогональных ортов i, j и k. В самом деле, вычислим:
i* = dSo=jxk = i' •і* = -'' к* = к (21)
Таким образом, в этом случае взаимные векторы совпадают с исходными векторами.
4. Докажем теперь, что и обратно: векторы а, Ь, с являются взаимными для системы векторов а*, Ь* и е*. Отметим, прежде всего, что векторы а*, Ь* и с* некомпланарны. Если бы а*, Ь* н с* были компланарны то один из них можно было бы выразить через два других но формуле вида
с* = ma* -I- пЬ*
Но тогда, по скалярном умножении на с, мы получили бы противоречие
1 = с*-с »= m (а*.с) + л (Ь*-с) = О
Докажем некомпланарность векторов а, Ь, о еще другим способом, а имецно, непосредственным вычислением
а* - (Ь* X с*) - [а.(ьхс)], {(b X с). [(с X а) X (а X Ь) ]>
Но в задаче 59 было найдено, что
(bxc). [(cxa)x(axb)] = [а.(Ьхс)]*
Поэтому
а*-<Ь* Xе*) =MRST (22)
Раз а*• (Ь* X с*) =^= 0 векторы, а*, Ь*, с* не могут быть компланарными, Попутно мы получили, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а*, Ь*, с*, обратен объему параллелепипеда с ребрами а, b а с и что векторы а*, Ь*, с* образуют систему координат того же вида (правую или левую), что и а, Ь, с.
Теперь доказательство взаимности векторов а, Ь, с с векторами а*, Ь*, с* не представит никаких затруднений. Достаточно сгруппировать уравнения системы (19) в три системы, относя в каждую три уравнения, стоящие в одной и той же строке, чтобы сразу увидать, что векторы а, Ь, с взаимны с векторами а*, Ь* и с*.
5. Еще в самом начале курса мы видели, что всякий вектор d может быть разложен по трем некомпланарным векторам a, b и с:
d = та + »b + joe (23)
При помощи взаимных векторов очень легко найти коэффициенты этого разложения.72
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
В самом деле, умножим обе части уравнения скалярно на а*, тогда, так как
= 1, Ь.а* = 0, с-а* = О
мы сразу получим
т — d-a*
Точно так же найдем
Значит
п = d'b*. р — d-c*
d = (d-a*) a + (d.b*) Ъ + (d.c*) с =
_ [d*(bxc))a + [d.(cxa)} b + {d.(aX b)] о а.(Ьхе)
(24)
(25)
(26)
Эта формула другим путем была нами получена в задаче 58. Получили пример определения трех скаляров нз одного векторного уравнения. Прием решения состоит, как видим, в скалярном умножении на три некомпланарных вектора.
Разлагая d по векторам а», Ь*, с*, мы точно так же получили- бы
d = (d-a) a* + (d-Ь> Ь* + (d-c) с*
(27)
Полученные формулы имеют тесную связь с решением системы трех уравнений с тремя неизвестными. В самом деле, уравнение (23) равносильно трем алгебраическим уравнениям:
dx = тах + nbx + рсх
dy = may + пЬу + рсу
(Lc = таг + nbz + рсг е тремя неизвестными т, п а р. Мы нашли решение в виде;
dx dy dz
(28)
d.a* = d,<b*c> -a'a a.(bxc) -
"V
Cv
bX K Cx Cv
(29)
и две аналогичные формулы для пир. Таким образом мы восстановили решение системы трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей.