Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Мы уже указывали другие примеры векторов: перемещение точки, ускорение, сила. Каждому такому вектору можно сопоставить прямолинейный отрезок, имеющий направление рассматриваемого вектора и длину, равную численному значению вектора (отложенному в некотором масштабе).
Численное значение вектора называется величиной, модулем или длиной вектора.
На чертежах векторы обозначаются стрелками (фиг. 1). Направление стрелки указывает на направление вектора, длина стрелки дает длину вектора.
Обычно векторы обозначаются жирными готическими или латинскими буквами. Иногда мы будем обо-фиг_ J значать вектор, начальная точка которого есть А,
а конечная — В, символом AB,
Длину вектора, т. е. его численную величину, мы будем обозначать теми же курсивными буквами: a, A, AB или же будем пользоваться знаком модуля:
Ia I = а, |15|=4В
2. Перейдем к вопросу о сравнении и равенстве векторов. Сравниваемые векторы должны обладать одной и той же размерностью, например, нельзя сравнивать силу со скоростью, и т. п. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКАЛЯРА H ВЕКТОРА
7
Два вектора а її b, обладающие одной и той же размерностью, мы будем считать равными, если они имеют одно и то же направление и одну и ту же длину.
Равенство двух векторов а и Ь мы будем обозначать следующим образом:
а=Ь (1)
Таким образом, если два вектора имеют неодинаковую длину или неодинаковое направление, они не могут быть равными.
Возьмем какой-нибудь параллелограмм и снабдим две противоположные стороны его одним и тем же направлением; полученные векторы будут, по нашему определению, равными; таким образом, положение на» чальной точки вектора для нас роли не играет.
Легко видеть, что для численного задания вектора нужно указать три числа. В самом деле, одним числом нужно задать величину вектора и двумя числами его направление (например в астрономии направление на небесное светило определяют, указывая: 1) азимут и высоту или 2) прямое восхождение и склонение или 3) долготу и широту светила).
Равенство двух векторов сводится к равенству попарно трех чисел, эти векторы определяющих. Таким образом, одно векторное равенство равносильно трем скалярным.
3. Отметим, что различают векторы трех родов: свободные, передвижные и определенные векторы. Введенные нами векторы относятся к типу свободных, так как точку их приложения можно выбирать по произволу. У передвижных векторов точку приложения вектора можно перемещать произвольно вдоль самого вектора, так что последний может лежать на любой части определенной прямой. Примером передвижного вектора является сила, приложенная к твердому телу, так как за точку приложения силы можно взять любую точку на линии действия силы. Наконец, у определенных векторов точка приложения вектора должна быть зафиксирована. Так, например, при рассмотрении движения жидкости за точку приложения силы, действующей на какую-либо частицу жидкости, принимается некоторая точка самой частицы.
Изучение передвижных и определенных векторов сводится к изучению свободных векторов, почему достаточно ограничиться рассмотрением только последних.
В физике приходится рассматривать еще величины тоже направленного характера, но более сложного, чем векторы; строения. Эти величины называются тензорами. Определение их будет дано в главе III. Сейчас укажем только несколько примеров: распределение моментов инерции относительно различных осей, проходящих через некоторую точку твердого тела, приводит к понятию тензора моментов инерции; распределение напряжений на различно направленные элементы в некоторой точке упругого тела приводит к понятию тензора упругих напряжений и т. д.. Наконец, в главе IV будет дано еще более общее определение. 8
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
4. Скаляры, векторы и тензоры являются объектами, изучаемыми в векторном исчислении.
Как всякое исчисление, векторное исчисление должно ввести ряд операций с векторами и тензорами, как например сложение, умножение, дифференцирование, и изучить эти операции. Эти операции определяются таким образом, чтобы при их помощи легко было интерпретировать те комбинации векторов, которые приходится изучать в математике, механике и физике. Так, например, в физике очень часто встречается правило параллелограмма: параллелограмм скоростей, сил и т. д. Этому правилу отвечает операция сложения векторов, которая будет рассмотрена в следующем параграфе.
В результате как основные элементы векторного исчисления — вектор и тензор, так и операции с этими элементами, оказываются хорошо приспособленными для изучения тех геометрических, механических и физических явлений, в которых большую роль играет направление величин; поэтому применение векторного исчисления для изучения таких явлений, с одной стороны, упрощает исследование, а с другой стороны, ведет его более естественным и наглядным образом, не требуя введения посторонних элементов, как это имеет место в обычном методе координат.
§ 2. Сложение, вычитание н разложение векторов. Умножение вектора на скаляр. Единичные векторы
1. Чтобы подойти к понятию суммы двух векторов а и Ь, рассмотрим, что будет с некоторой точкой Р, совершающей последовательно одно за другим два перемещения, представляемые векторами а и Ь. Первое пере-C мещение переведет нашу точку из начального
