Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Не рассматривая вопроса о кривиане риманова пространства детально, мы выясним только несколько основных понятий на частном примере риманова пространства двух измерений, которое всегда можно представлять себе как некоторую поаерхпость в пространстве трех измерений.
Прежде всего заметим, что, как было указано выше, в случае риманова пространства двух измерений, все 16 составляющих тензора Римана-Кристоффеля выражаются через одну иа них, за которую можно взять Л121 г.
Возьмем теперь в эвклидовом пространстве yi, уг, у% сферу радиуса а yi* + yJ + уя* - а*
и рассмотрим поверхность этой сферы в качестве риманова пространства. Вводя в рассмотрение сферические координаты г,,8, <р, можем характеризовать положение точки па сфере двумя координатами 9 и <р, т. е. ми можем положить
X1 = 9, X2 = ср I 37 тензор римана-нристоффеля
417
Очевидно тогда, что для квадрата элемента длины мы получим выражение
ds2 - а2 (dB4 + sin2 0 Apa) = аа (dx1)2 + о? sina xl (da*)* (23)
и, следовательно, составляющими фундаментального тензора будут Su = а2, gu = 0, gM = а2 sin2 (г1) (24)
Теперь легко вычислить, что
S11 = ^=Fiifcl) <25>
Гі,и = Гі,і2 = Г»,ц = Га,aa = 0, Га,is= — Tll-M = у a2 sin (2k1)
Формула (11) приводит к следующему значению для Rizit
Лш2 = a2 Sin2 (г1) (26)
В силу формул (12), (13) и (14) для любого пространства/^ мы имеем соотношения
/?і2і2 — —R tu 2 = —Ruit = Rmi (27)
все же остальные составляющие тензора Римана-Кристоффеля равны нулю. Составляя по формулам (21) и (22) инвариант G, мы придем в случае Ri к выражению
G = ^Rixxv. = 2Л1М <(?12)2 - = - ^ (28)
ибо, как нетрудно убедиться,
gUg" =1
Итак, выражение
Діаіа
g
для любого пространства Римана двух измерений является инвариантом. Составляя это выражение для сферы, получим
^ = P (29)
I
но для сферы радиуса а величина^- является как раз гауссовой кривив-ной.
5. Теперь мы приведем в связь понятие кривизны поверхности с понятием параллельного переноса вектора, опять-таки только для частного случая сферы.
А именно, рассмотрим на сфере радиуса а площадь 5, ограниченную контуром L, и будем, исходя из точки Mo кривой L, совершать параллельный перенос какого-либо вектора, касательного к поверхности сферы, вдоль кривой L способом, указанным в § 35. После обхода кривой L рас- 418
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
сматриваемый нами вектор не возвратится, вообще говоря, в свое первоначальное положение, а составит с ним некоторый угол е. Мы хотим доказать, что
(30)
в S
Для доказательства возьмем сначала за S сферический треугольник ABC, углы которого тоже обозначим череа А, В, С. Тогда из сферической тригонометрии известно, что площадь сферического треугольника ABC равна
S = а4 (А + В + С - я) (31)
За точку Mо контура, ограничивающего треугольник, примем точку А, а за вектор, который мы будем параллельно переносить, примем единичный вектор а, касательный в точке А к дуге большого крута AB.
Так как сферический треугольник образован дугами больших кругов, которые являются на сфере геодезическими линиями, то в силу сказанного в § 35 параллельный перенос вектора будет совершаться очень просто. А именно, при параллельном переносе по геодезической линии AB единичный касательный вектор а в точке А к этой линии перейдет в единичный касательный вектор аі в точке В (фиг. 95); проведем теперь в точке В единичный касательный вектор b к геодезической лннии ВС; ясно, что угол между векторами ai и b равен л — В.
Будем теперь переносить вдоль геодезической линии векторы Ь н at; в силу сказанного в § 35 вектор b перейдет в вектор bt, касающийся линии ВС в точке С, а вектор а, перейдет в вектор а2, составляющий с Ьх тот же самый угол я — В, который был образован векторами а, и Ь. Проведем, наконец, в точке С единичный касательный вектор с, который образукт, очевидно, с вектором bi угол л — С.
При иараллельном переносе из точки С в точку А векторы с, Ij1, а2 перейдут соответственно в C1, Ь2, ад, причем углы между векторами аз и Ii2, Ь3 и C1, Cj и а будут равны соответственно я — В, я — С, я — А.
Из фиг. 95 ясно, что угол между вектором а и тем вектором а3, в который превращается этот вектор после его параллельного переноса вдоль контура сферического треугольника ABC, будет равен
в = 2я — (л - В) — (л — С) — (л - А) = А + В + С - я (32)
Сравнивая это равенство с (31), докажем формулу (30) для того частного случая, когда контур L есть контур сферического треугольника. Формула (30) остается, очевидно, справедливой и в том случае, когда L
Фиг. 95 I 37
тензор римана-нристоффеля
419
есть контур сферического многоугольника, ибо последний можно разбить на ряд сферических треугольников. Но так как во всякую кривую L можно вписать сферический многоугольник, отличающийся от L сколь угодно мало, то легко заключить, путем предельного перехода, что формула (30) справедлива для любого контура на сфере.
Полученные результаты могут быть обобщены на случай любой поверхности. А именно, можно показать, что Гауссова кривизна поверхности К может быть выражена как формулой
