Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, контравариантные составляющие вектора Ai только множителем Vgil отличаются от ортогональных проекций вектора а. на направления нормалей к координатным поверхностям.
24* 372
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
Переходим теперь к вычислению Ац и Ащ. Просматривая внимательно предыдущие выводы, мы легко заметим, что составляющими вектора et по осям координат yi, уз, уз являются величины
/ ч 1 аУ> CO8 (Sil уд = у=-,
составляющими же вектора е< являются
1 Эх1
COS (и,, Уі) =
WlbyI
Поэтому, проектируя равенства (45) и (46) на оси координат у\, у*, уз,
получим
V ^ 1 X* л —а*4
зщ
Но в силу формул преобразования контравариантных и ковариантных векторов мы имеем, что должно быть
S дУ 3 дх'
«і = 2 Ai^, ?, = 3^1?:
Сравнивая эти формулы с предыдущими, мы видим, что
A4 = VgaAi (50)
Ant = VgriAi (51)
Эти формулы дают нам еще одно истолкование контравариантных и ковариантных составляющих вектора.
Отметим еще раз, что во всех формулах (47), (49), (50) и (51) поапачку ?, хотя он и встречается три раза, никакого суммирования производить не нужно.
В случае ортогональных криволинейных координат я1, аг4, з? направления Si и п4 совпадают друг с другом, и поэтому
ан — Oai = A4 = An.
общую величину этих составляющих обозначим через aXj и будем называть эти величины фига'іескими составляющими вектора а. Так как в случае ортогональных координат мы имеем, очевидно, соотношения
gi, = ЯД g« = J-5 (52)
где Hi — коэффициенты Ламэ (см. § 18), то связь между контравариант-ыымн, ковариантными и физическими составляющими некоторого вектора принимает вид
1
А' = Jfi ач, Al=HiOxv (53) фундаментальный тензор
373
5. Покажем теперь, как следует определять в риманоиом пространстве векторное произведение. При этом мы рассмотрим для простоты только случай пространства трех измерений.
Возьмем три произвольных вектора Ai, Bi, Ci и образуем из их контравариантных и ковариантных составляющих два определителя
A1 At A3 B1 B1 Bi C1 Ct Ct
V =
Ai As Аг Bi Ba Ba Ci Ct Cs
(54)
Так как контравариантные и ковариантные составляющие какого-либо вектора связаны соотношениями
Ai = gikAk
то легко видеть в силу правила перемножения определителей, что
V =
SihAX g3kA" gskA" Si «В* g*kB* 8якВ* ё^С" g№C* gsllC*
gll glt gl3
ga gat gts gai gat gas
A1 A1 B1 Bi C1 C1
C3
¦ gV (55)
Перейдем теперь к другой системе координат я1, я2, г3 и обозначим через D определитель преобразования, т. е.
D =
D( xi
D (і1. Xі, г»)
дх' дха а®8
3ж1 дх1 аг1
дх> дх* а«»
дх* дз? дх*
дх1 Oxi дх*
дх» Зї3 (Hr8
(56)
Составляющие вектора A1 преобразуются при этом по формулам
дх'
Ai = Aa
дх
Поэтому преобразованное значение определителя V, по той же формуле перемножения определителей, окажется равным
У
Aa дх* д& Aa дх* Ях1 Aa дх' д?>
Ba дх" т Ba дх* дх* Ba дх* as3
Ca дх" дх' Ca дх* аг® Ca ftr« "эр"
= VD
(57)
Наконец, применяя то же правило перемножения определителей к определителям V и V', из (54), получим
AiAl AiBi AiC,
W = BiAi B1Bi BiCi
CiAl C1Bi CiCi 374
элементы овщей теории тензоров
Гл. iv
Отсюда видно, что выражение VV является инвариантом, так что
VV7 -W (58)
Сравнивая это выражение с (57), видим, что должно быть тождественно
VD =V (59)
что, впрочем, может быть доказано и непосредственно. Наконец, из формулы (55) следует, что
V =IV
принимая еще раз во внимание (55), заключаем, что
IL- і v
V- - g V
Теперь, в силу (57) и (59) выводим
D=I'
g D
Отсюда вытекает важная формула преобразования фундаментального определителя
g = gD2 (60)
Так как определитель преобразовании D всегда считается отличным от нуля, то из предыдущей формулы вытекает, между прочим, что значение фундаментального определителя будет отличным от нуля во всех системах координат, если это имеет место дли какой-нибудь одной системы координат.
Мы будем считать g и Vg в некоторой фиксированной системе координат S1, Я®, SS3 положительными, тогда из (60) получим
Vg = D Vg. (61)
причем мы условимся Vg приписывать тот знак, который имеет определитель преобразования D.
Из формул (57) и (59) следует теперь, что
Й-7Г VV~"vri <62)
т. е. величины
™ TT
являются инвариантами. Эти величины равны друг другу в силу (55).
Придадим этим анвариантам другую форму, для чего введем в рассмотрение систему чисел бш, зависящих от трех значков і, к, I и заданных следующим образом:
oias = osai = ба 12 = 1
om = баї з = бз2і — — 1 (63)
т = О во всех прочих случаях $ 32 фундаментальный тензор 375
Легко видеть, что при таних обозначениях определитель V может быть записан следующим образом:
V = A1BiC3 + A2B3C1 + A3B1C2 - A1B3Ct — A1B1C3 - AsB2C1 =
= ЬХ$УА«В^
и точно так же
V = o,?yA„B?Cr
Итак, выражения
VgV = VgbasyA^Cy (64)
^=-V = -±-ЬфуАаВ,Су (65)
при любом выборе векторов A*, Ba, Ca являются инвариантами. Но тогда из теоремы деления тензоров п. 5 § 31 вытекает, что величины
