Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
I (А') = VrArAi = VgillAiAk = VgikAlAk (36)
Сопершенно аналогично можно составить скалярное произведение двух векторов Ai и В1. Из общей теории тензоров мы знаем, что A1Bi есть инвариант; в координатах yi, г/2, уз это выражение приводится к ai&i + аФя + азЬз, т. е. к скалярному произведению векторов А' н В1, Следовательно, скалярным произведением векторов At и Bi в любых криволинейных координатах является
А% = gth A lBk = gikA,Bk (37)
Совершенно естественно, что для косинуса угла между двумя векторами мы вновь получаем формулу (32).
Поставим теперь себе задачу выяснить значение контравариантных н коварнантных составляющих некоторого вектора.
Пусть мы рассматриваем вектор а в точке М. Проведем через эту точку, как мы это делали в § 18, три координатных поверхности
г1 = const, з? = const, as® = const (38)
которые пересекутся по трем координатным линиям. Направления касательных к этим линиям в сторону возрастания координат а^, а?, $ обозначим через si, s2, ss; направлення же нормален к поверхностям (38) в сторону возрастания координат х1, з?, я? обозначим через щ, пг, пз.
Найдем углы, образуемые этнмн шестью направлениями с осями прямолинейных прямоугольных координат у\, уі, уз. Возьмем, например, направление S;", вдоль соответствующей координатной линии меняется только координата Xі, остальные же две координаты остаются без изменения; бесконечно малый вектор dr, идущий по касательной к этой линии, имеет своими проекциями на оси координат yi, у і, уз величины (заметим, что в нижеследующих формулах не нужно суммировать но значку і)
dyi = Щ dx\ dy* = Щ dx\ dy» = ^ dx* " дх дх1 9 Эх•
24 а. Е. Кочка 370
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
величина же самого вектора dr равна [см. еще (22)]
= VdyS+dyt+dy^ /(?)2+ (5)2+ (S3)2^i-VfcW
Отсюда сразу следуют такие выражения для косинусов углов между направлениями Si, Sa, Ss и осями у\, уъ, у3
«и (а,, у,)--3=? (39)
У Sii <>*г
(заметим, что хотя в эту формулу значок і входит три раза, но по нему суммировать не надо, что ясно из вывода). Точно так же вычисляются косинусы углов между направленнями ni, m, па и осями у\, уг, уъ-
Рассмотрим, например, вектор grad х1, где хг рассматривается как функция от yi, г/2, уз- Проекциями этого вектора на оси yi, yi, уз являются
Bxi дх1 дхі {А(\\
дуі' 3? ' ду3
Покажем теперь, что квадрат длины этого вектора равен
ШЧЙЫШ'-*« <«)
В самом деле, gik есть контравариантный тензор, составляющие которого в системе координат yi, у а, уз равны
Jk к
S =gi
(ибо в прямолинейной прямоугольной системе координат значення контра вариантных н смешанных составляющих тензоров совпадают). Поэтому в любой системе координат з1, а?, ж3 согласно общему правилу преобразования контравариантпых тензоров будем иметь
№ ,0 дхі дхк Jft дх* Hxk
g = о? з— -—, нлн g = — j— (42)
S dl/p 6 aVe3JZe v '
Отсюда, как частный случай, следуют и формулы (41). Выпишем еще для аналогии и формулы (22)
9yIdy* ,,QX
^ = (43)
Возвращаясь к определению косинусов углов между направлениями ш, о», пз и осями координат у\, yi, ys, можем теперь в силу формул (40) и (41) сразу написать, что
соз (щ, уд = у^щ <44)
Рассматривая теперь какой-либо вектор, введем для отчетливости изложения следующие обозначения. Пусть Ai и A1 контравариантньге и коварнантные составляющие этого вектора в любых криволинейных координатах; пусть а} O2, а3 составляющие этого вектора по осям пря- фундаментальный тензор
371
молинейных прямоугольных координат у\, у г, уз; обозначим далее через Ci^ и ащ ортогональные проекция вектора а соответственно на касательные к координатным линиям и на нормали к координатным поверхностям (38); наконец, вводя, как в § 18, три единичных вектора еі, ег, es, направленных по касательным к координатным линиям (см. фаг. 00) и, через в1, е2, е3 — три единичных вектора, направленных оо нормалям к координатным поверхностям (38) (в § 18 эти векторы были обозначены через O1*, ег*, е3*), обозначим череа Ац и Ani косоугольные составляющие вектора а соответственно по направлениям S1, S2, S3 и щ, од, а», иными словами, коэффициенты разложения вектора а по векторам el5 ej, е8 He11Si1 е3:
а = Л„,еі + Atfit + As,e3 (45)
а = AniC1 + Anfi1 + A^e8 (46)
Переходим к вычислению введенных нами величин. Прежде всего, согласно основной формуле об ортогональной проекции какого-либо вектора на любое направление, мы имеем
е.І = ai cos (Sj. У,) = -F= V ци
a,dIi
1
Но в силу основных формул преобразования ковариантных векторов мы имеем
A 3yS
Ai = Oj^
и, следовательно, получаем окончательную формулу
= Fk 'т
Таким образом, ковариантные составляющие вектора At только множителем Vgl, отличаются от ортогональных проекций вектора а на направления касательных к координатным линиям. Совершенно аналогично вычисляется
1 Qxi
Ont = a;cos (п4, г/і) (48)
Но в силу основных формул преобразования контравариантных векторов мы имеем
л дх'
А — а,-*— 1 »У і
и, следовательно,
