Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, производя перемножение обоих фундаментальных тензоров и последующее сокращение индексов, мы получим смешанный фундаментальный тензор
Et = Sbgak (?)
Чтобы найти значение составляющих этого тензора, подставим в формуле (4) выражения (6). Мы тогда получим
Ai = giaA* = ^gakAk = g* Ak
Так как это равенство должно иметь место при всех значениях Ah, то необходимо должно быть, чтобы
к [1, если i=k \ О, если і ф к
Таким образом, смешанный фундаментальный тензор совпадает с хорошо известным нам тензором, составляющими которого в любой системе координат являются величины 5®.
Если в тензоре (7) произвести сокращение индексов і и Ус, то получится инвариант
gi = ft««* = Я (в>
дающий, очевидно, число измерений рассматриваемого риманова пространства.
2. В предыдущем пункте мы видели, что при помощи фундаментальных тензоров gib и g'k можно из контравариантного вектора Ah получить ковариантный вектор Ai и обратно на основании формул
Ai = gikAAi = f*Ak (10)
Так как мы знаем составляющие фундаментальных тензоров в любой системе координат, то мы легко можем вычислить составляющие одного из векторов Ai, A1 по составляющим другого. Ввиду этого представляется весьма удобным рассматривать Ai и Ai не как составляющие двух различных векторов, а как различные (соответственно ковариантные и конт-равариантные) составляющие одного и того же вектора. Совершенно то же самое можно сказать и про тензоры любого рангафундаментальный tbbrof
366
Возьмем теперь контравариантный тензор второго ранга Accb. Тогда можно аналогично тому, как от вектора Л1 мы пришли к вектору A1, произвести операцию понижения одного из значков этого тензора; в самом деле, умножая этот тензор на gvc и производя сокращение по индексам а и к, мы получим тензор
Aafigili = Af (11)
производя же умножение тензора Aa^ на g№ и производя сокращение по индексам ? и і, мы получим другой тензор
Aatigm = А% (12)
Принятый в формулах (11) и (12) способ обозначения смешанных тензоров отчетливо указывает на то, какой именно ив индексов подвергся понижению (над этим индексом наверху или под ним внизу стоит точка), и мы впредь будем часто пользоваться этим способом.
Нетрудно аналогичным приемом опустить и второй индекс тензора А110, для этого достаточно составить выражение
-Atfa = Aa (13)
Обратно, от Ant можно вернуться к Af и Aa?. В самом деле, составим Ailcg**= AZgvkgW = AZd пользуясь теперь формулами (8), легко установим, что
AikgM= At (14)
Аналогично этому можно доказать, что
AiKgMgta = Afg'° = Aats (15)
Совокупность всех полученных нами формул и позволяет рассматривать AaAf., Afk, Aik как контравариантные, смешанные и ковариантные составляющие одного и того же тензора. Не останавливаясь на дальнейших примерах применения процесса понижения и повышения индексов, укажем только одно простое правило, касающееся того случая, когда в некотором одночлене какой-либо значок встречается два раза и, следовательно, по этому значку происходит суммирование. Мы знаем, что в этом случае непременно один значок стоит наверху, а другой внизу (иначе рассматриваемая величина не имела бы тензорного характера). Так вот в этом случае мы можем верхний значок суммирования опустить вниз -с тем, чтобы нижний значок суммирования поднять наверх. Например
A*» Bacfi = AtBaI, = Aarl-Bf. = AatPBali (16)
Доказательство этой теоремы предоставляется в качестве упражнения читателю.366
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
Заметим в заключение этого пункта, что мы можем рассматривать g№ ». gik и gi как коварнантные, контраварнантные и смешанные компоненты фундаментального тензора, ибо процесс повышения и понижения индексов применим и к этому тензору, например
ft* Г* = rf. Sikgia gk? = g(«)
При этом, как мы видели выше, процесс повышения значка производится при помощи тензора g'k, процесс понижения при помощв тензора gik. Применение же тензора g^ производит, как легко видеть, только замену одного значка другим, например
Aaft^i = Aai (18)
поэтому gf называют еще тензором подстановки.
3. Переидем теперь к приложениям.
В основу наших рассуждений мы положим фундаментальную форму
= gik . . . , хп) dx,dx" (19)
определяющую расстояние между двумя бесконечно близкими точками риманова пространства Rn. Про квадратичную форму (19) мы будем предполагать, что она принимает только положительные значения и что она произошла указанным в § 30 образом. А именно мы будем считать, что мы имеем ш-мерное энклидово пространство Em, в котором положение какой-либо точки определяется прямолинейными прямоугольными координатами yi, уг, ¦ ¦ • , Ут> и что в этом пространстве мы рассматриваем подпространство Rn, определенное формулами
yi = уг (ас1, . . хп) .......... (20)
Ут = Ут ?^. • - ¦ .
Подставляя в формулу
т
^ = S dyf (21)
CPS=Si
определяющую расстояние между двумя бесконечно близкими точками в энклидовом пространстве, выражения (20) для функций у*, мы и получим формулу (19), в которой, как было показано н § 30, коэффициенты g^ чмеют следующие значения: