Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 122

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 144 >> Следующая


Наконец, производя перемножение обоих фундаментальных тензоров и последующее сокращение индексов, мы получим смешанный фундаментальный тензор

Et = Sbgak (?)

Чтобы найти значение составляющих этого тензора, подставим в формуле (4) выражения (6). Мы тогда получим

Ai = giaA* = ^gakAk = g* Ak

Так как это равенство должно иметь место при всех значениях Ah, то необходимо должно быть, чтобы

к [1, если i=k \ О, если і ф к

Таким образом, смешанный фундаментальный тензор совпадает с хорошо известным нам тензором, составляющими которого в любой системе координат являются величины 5®.

Если в тензоре (7) произвести сокращение индексов і и Ус, то получится инвариант

gi = ft««* = Я (в>

дающий, очевидно, число измерений рассматриваемого риманова пространства.

2. В предыдущем пункте мы видели, что при помощи фундаментальных тензоров gib и g'k можно из контравариантного вектора Ah получить ковариантный вектор Ai и обратно на основании формул

Ai = gikAAi = f*Ak (10)

Так как мы знаем составляющие фундаментальных тензоров в любой системе координат, то мы легко можем вычислить составляющие одного из векторов Ai, A1 по составляющим другого. Ввиду этого представляется весьма удобным рассматривать Ai и Ai не как составляющие двух различных векторов, а как различные (соответственно ковариантные и конт-равариантные) составляющие одного и того же вектора. Совершенно то же самое можно сказать и про тензоры любого ранга фундаментальный tbbrof

366

Возьмем теперь контравариантный тензор второго ранга Accb. Тогда можно аналогично тому, как от вектора Л1 мы пришли к вектору A1, произвести операцию понижения одного из значков этого тензора; в самом деле, умножая этот тензор на gvc и производя сокращение по индексам а и к, мы получим тензор

Aafigili = Af (11)

производя же умножение тензора Aa^ на g№ и производя сокращение по индексам ? и і, мы получим другой тензор

Aatigm = А% (12)

Принятый в формулах (11) и (12) способ обозначения смешанных тензоров отчетливо указывает на то, какой именно ив индексов подвергся понижению (над этим индексом наверху или под ним внизу стоит точка), и мы впредь будем часто пользоваться этим способом.

Нетрудно аналогичным приемом опустить и второй индекс тензора А110, для этого достаточно составить выражение

-Atfa = Aa (13)

Обратно, от Ant можно вернуться к Af и Aa?. В самом деле, составим Ailcg**= AZgvkgW = AZd пользуясь теперь формулами (8), легко установим, что

AikgM= At (14)

Аналогично этому можно доказать, что

AiKgMgta = Afg'° = Aats (15)

Совокупность всех полученных нами формул и позволяет рассматривать AaAf., Afk, Aik как контравариантные, смешанные и ковариантные составляющие одного и того же тензора. Не останавливаясь на дальнейших примерах применения процесса понижения и повышения индексов, укажем только одно простое правило, касающееся того случая, когда в некотором одночлене какой-либо значок встречается два раза и, следовательно, по этому значку происходит суммирование. Мы знаем, что в этом случае непременно один значок стоит наверху, а другой внизу (иначе рассматриваемая величина не имела бы тензорного характера). Так вот в этом случае мы можем верхний значок суммирования опустить вниз -с тем, чтобы нижний значок суммирования поднять наверх. Например

A*» Bacfi = AtBaI, = Aarl-Bf. = AatPBali (16)

Доказательство этой теоремы предоставляется в качестве упражнения читателю. 366

элямянты общвя теории тензоров

Гл. IV'

Заметим в заключение этого пункта, что мы можем рассматривать g№ ». gik и gi как коварнантные, контраварнантные и смешанные компоненты фундаментального тензора, ибо процесс повышения и понижения индексов применим и к этому тензору, например

ft* Г* = rf. Sikgia gk? = g(«)

При этом, как мы видели выше, процесс повышения значка производится при помощи тензора g'k, процесс понижения при помощв тензора gik. Применение же тензора g^ производит, как легко видеть, только замену одного значка другим, например

Aaft^i = Aai (18)

поэтому gf называют еще тензором подстановки.

3. Переидем теперь к приложениям.

В основу наших рассуждений мы положим фундаментальную форму

= gik . . . , хп) dx,dx" (19)

определяющую расстояние между двумя бесконечно близкими точками риманова пространства Rn. Про квадратичную форму (19) мы будем предполагать, что она принимает только положительные значения и что она произошла указанным в § 30 образом. А именно мы будем считать, что мы имеем ш-мерное энклидово пространство Em, в котором положение какой-либо точки определяется прямолинейными прямоугольными координатами yi, уг, ¦ ¦ • , Ут> и что в этом пространстве мы рассматриваем подпространство Rn, определенное формулами

yi = уг (ас1, . . хп) .......... (20)

Ут = Ут ?^. • - ¦ .

Подставляя в формулу

т

^ = S dyf (21)

CPS=Si

определяющую расстояние между двумя бесконечно близкими точками в энклидовом пространстве, выражения (20) для функций у*, мы и получим формулу (19), в которой, как было показано н § 30, коэффициенты g^ чмеют следующие значения:
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed