Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
дх дх дх*
^ _ -г _ ах^ __ эх3 дх дх дх"
— дх .1 дх
W-. = Wr-— Or-
дх1 <teY
Следовательно,
/ = Aafi
дх" дяР_ дх Hs дхк дхг
и так как по условию выражение (8) является инвариантом, т. е. / — f, то
дх" дх_
дх' дх" дх4
Полученная формула преобразования доказывает, что A^13 есть тензор..
Доказанная теорема высказана нами не в самой общей форме. Но со* вершенно ясно, как нужно формулировать и применять теоремы, аналогичные только что доказанной. Ввиду важности этой теоремы, мы присвоим ей особое иа именование «теоремы деления тензоров».
Более того, высказанную теорему можно еще обобщить. Так, напри: мер, если для каждой системы координат мы имеем совокупность п3 ве<-личин и если для любого тензора Ba0 выражение A1?Ba? являете» контравариантным вектором, что величины ЛJp являются составляющими тензора два раза ковариантного, раз контравариантного.
Всю совокупность теорем такого тина условимся называть обобщенной теоремой деления тензоров.
Частным случаем этой последней теоремы является такая: если для-любого вектора аР величины. суть составляющие ковариантного
вектора, то р^ суть составляющие ковариантного тензора. Для случая, афинных ортогональных тензоров эта теорема была доказана нами в-п. 2, § 24 [формулы (14)]. Мы видели там, что эта теорема является весьма, важным орудием для распознавания тензорного характера ряда величин. Подобно этому теорема деления тензоров служит в целях установления тензорного характера различных величин. В заключение настоящего-пункта докажем еще одну теорему аналогичного содержания. 362
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
Если для каждой системы координат Xа .мы имеем совокупность п* величин A a? и если при любом выборе вектора иа выражение
j = Aa?U'uP (9)
является инвариантом, то величина
Bae = -S-Ua0+ Л,«} (10)
являются составляющими ковариантного тензора.
Для доказательства заменим в выражении (9) вектор иЛ суммой двух произвольных векторов V1 и ю®, і. е. положим
иЛ = vP- + Wa
тогда, очевидно, получим
/ = Aatі (V* + ^(!# + !??) = = A^rP-iP + Att^Wufi + AafiVaW^ + A^tvaVs
Заметим теперь, что выражения
AaZi'"^, AaIiWtlUA ¦инвариантны по условию теоремы и что
AzfiIUaVp = A$ait?v*
так как а и ? являются здесь значками суммирования и поэтому MorvT быть обозначены произвольными буквами. Поэтому выражение
g = (А& + A?*) Va^
является инвариантом и так как Vа и уже произвольные векторы, то можно применить теорему начала этого пункта и утверждать, что величины (10) образуют ковариантный тензор.
Если величины Aa? обладают свойством симметричности, т. е. Aa6 = A^at то us инвариантности выражения (9) для любого вектора вытекает, что Аф являются составляющими ковариантного тензора. В самом деле, в этом случае Aa^ совпадают с B^.
§ 32. Фундаментальный тензор
1. Введем теперь в рассмотрение фундаментальную квадратичную форму
ds3 = go, (a1, . . . , xn) dx*dx" (1)
определяющую квадрат расстоявия между двумя бесконечно близкими точками многообразия. Формулой (1) устанавливается метрика этого многообразия и само многообразие превращается уже в риманово пространство Rn.
По самому определению, аначение квадратичной формы (1) должно оставаться тем же самым, независимо OT того, в каких координатах про- $ 32
фундаментальный тензор
363
изводится вычисление; иными словами, квадратичная форма (1) является инвариантом.
Кроме этого условия, функции gik считаются удовлетворяющими условию симметрии
gik — gkt
л, кроме того, мы потребуем еще, чтобы определитель
gll gl2 . . . gln gm g*S . . . gan
gm gm
Rn
(2)
(3)
был отличен от нуля в рассматриваемой области -а вменения переменных.
Так как дифференциалы координат могут быть взяты совершенно произвольными и так как dx' есть контравариантный вектор, то из последней теоремы предыдущего параграфа вытекает, что g^ являются составляющими ковариантного тензора. Мы будем называть этот тензор ковариантным фундаментальным тензором. Определитель g назовем фундаментальным определителем.
Возьмем теперь любой контравариантный вектор Асоставим произведение gih Ал и сократим его по значкам к и а; в результате мы получим ковариантный вектор, составляющие которого мы обозначим через Ai
Ai = gihA"
(4)
Попробуем теперь обратно выразить составляющие векторы А через Ai. Равенства (4) можно рассматривать как систему п линейных уравнений относительно п неизвестных A1, Ai, . - . , Ал:
gu Ai + giiA1 Ar ¦ ¦ ¦ + gm An = Ai
gni A1 + gn2A* + ...,+ gnnAn = Atl
Решая эту систему по обычному правилу Крамера, мы получим, что
Ai = GliA^OtiAt+.. ¦ +OniAn
g
где Glil есть алгебраическое дополнение элемента gih в фундаментальном определителе, т. е. минор, соответствующий этому элементу, умноженный на (—1) Вводя обозначения
= Sti
S
(5)
можем ваписать полученные формулы коротко в виде
Ai = S1Mft
(S) 364
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
Заметим теперь, что уравнения (4) при g 0 могут быть решены при любом выборе Ai. Иными слонами, в формулах (6) за А* можно взять произвольный ковариантный вектор. А тогда, применяя одну из теорем последнего пункта предыдущего параграфа, можно утверждать, что величины gilr являются составляющими некоторого контравариантного тензора, который мы назовем контравариантным фундаментальным тензором. Легко видеть, что в силу условия (2) окажется G1 = Gki и, следовательно, gik = g1™. Таким образом, контравариантный фундаментальный тензор, подобно ковариантному фундаментальному тензору, обладает свойством симметрии.
