Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Но по определению (3).
п
2 л%-Ba
P=I
Поэтому из (4), (5) и (6) легко получим, что
(7)
Iic (1) есть как раз формула преобразования составляющих ковариаит-ного вектора, следовательно, Ba есть ковариантный вектор, что и требовалось доказать.
Итак, из всякого смешанного тензора можно путем сокращения одного ковариантного индекса и одного контравариантного индекса получить новый тензор, ранг которого на две единицы ниже ранга исходного тензора. Этот новый тензор мы будем называть тензором, сокращенным из данного по таким-то индексам.
Так, например, имея тенаор четвертого ранга ^jf1 мы можем образовать из него четыре сокращенных тензора второго ранга, а именно
.Bjj = 4?, Cf} = D^ = Ea = -da?
Так как в результате получились опять смешанные тензоры, то операцию сокращения индексов можно повторить; в результате получим два тензора нулевого ранга, т. е. два инварианта
F = А%, 6=4?
Приведем пример на сокращение индексов из теории афинных ортогональных тензоров. Заметим только предварительно, что в случае афинных ортогональных тензоров нет никакой разницы между контравариант-ными и ковариантными значками, поэтому в случае афинных ортогональных тензоров мы можем сокращать по любым двум индексам. Рассмотрим теперь афинный ортогональный тензор рк1 в пространстве трех измерений. Сокращая его по индексам к и I, мы должны получить инвариант
рп 4- рм + раз
и действительно, в § 27 мы видели, что эта сумма является одним из инвариантов тензора.
4. Комбинируя операцию произведения двух тензоров с операцией сокращения индексов, мы получаем новую весьма важную операцию, которая содержит в себе, как частный случай, всю теорию скалярного умножения тензора на вектор и тензора на тензор, изложенную нами в § 24 и § 25. Мы рассмотрим эту операцию на ряде частных примеров. 360
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
1°. Возьмем контравариантный вектор А" и ковариантный B?. Перемножая их, мы получим тензор AaBp, а сокращая этот тензор по индексам an?, получим инвариант А"ВЛ, который можно, очевидно, назвать скалярным произведением векторов Aa и B9. В случае афинных ортогональных векторов а и b мы получаем, очевидно, операцию скалярного произведения этих векторов а - b = a\b\ + агбг + афз.
2°. Возьмем ковариантный тензор A ^ и контравариантный вектор B^ • Перемножая их, мы получим тензор AX?J3w; а сокращая тензор но индексам a и у, получим вектор C? = Aa^Ba, сокращая же предыдущий тензор ио индексам ? и у, получим вектор Da. = Aa?BВ случае афинных ортогональных тензоров, согласно формулам (4) и (9) § 24, вектор P^aa. является скалярным произведением тензора р^ на вектор aa слева, вектор же Px?d? является скалярным произведением тензора рщ3 на вектор аа справа.
3°. Возьмем ковариантный тензор Aa^ и контравариантный тензор Bts. Перемножая их, получим тензор A10Bvs; сокращая его по индексам ? и у, получим тензор второго ранга — AaliBt3b. Сокращая полученный тензор еще раз по индексам сс и б, получим инвариант
Обе эти операции мы уже имели в случае афинных ортогональных тензоров. В самом деле, согласно формулам (5) § 25 тензор рк[ = акгЬгі является скалярным произведением тензоров ак1 и Ьы. В формуле же (19) § 27 нами было определено бискалярное произведение двух тензоров uw и bkt; при новых обозначениях выражение для этого произведения следовало бы ааписать так: ак1Ь!к, или, что то же, Qapbg0..
Мы видим, таким образом, как развитая в этом параграфе общая теория тензоров объединяет в одно целое различные понятия теории афинных ортогональных тензоров.
5. Рассмотрим какой-либо тензор, например АаВ. В соответствие каждому ковариантному значку этого тензора, приведем произвольный, контравариантный вектор, в данном случае иК, в соответствие значку а, и Mi, в соответствии значку ?; в соответствие же каждому контравариаят-ному значку этого тензора приведем произвольный ковариантный вектор, з данном случае вектор iuv. Составим теперь произведение AZsfl1VHvv, получим тензор шестого порядка, сократим теперь .его по индексам a и X, ? и ji, у и V, тогда мы получим инвариант
/ = A^vhor (8)
Эта теорема может быть обращена. Другими словами, справедлива следующая теорема:
Если мы для каждой системы координат гк1, з?, . . . , х" имеем-совокупность п3 величин Aie а если при любом выборе трех векторов иа, i?, ил, выражение (8) является инвариантом, то величины AJe являются составляющими тензора два раьи ковариантного, раз контравариантного.
Доказательство весьма просто. Нам нужно проверить, выполняются ли формулы преобразования (31) § 30. твнзорная алгебра
Но в силу произвольности векторов Ua-, w-, мы можем взять их так, ч'гобы в иовой системе координат з?, . . . ,г" они имели значения
й" = 6?, P = 6g, Wy = oi
Тогда в новой системе координат значение формы / будет равно
7 = ?
В старой же системе координат значения векторов могут быть опре делены по формулам (21) и (24) предыдущего параграфа, в которых только нужно поменять роли новых и старых координат.
иа — — Sr — бr = —
