Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 118

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 144 >> Следующая

dx1 dx2 dx1

dt ' dt ' ~Ж~

будут, очевидно, составляющими по декартовым осям координат вектор а скорости; согласно вышесказанному составляющими этого вектора в координатах г, 9, ф будут

dr dQ rfij>

dt ' dt ¦ ~dt

Но эти три величины носят существенно различный характер, хотя бы по одному тому, что dr/dt есть линейная скорость, в то время как dftfdt и dij)/df Являются угловыми скоростями. Таким образом, составляющие контравариантного вектора dB/dt, dty/dt не могут быть проекциями, в обычном смысле этого слова, вектора скорости.

Определенные нами выше векторы были названы контравариантными. дело в том, что в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов, одному из которых присвоено наименование контравариантных, а другому — ковариантных.

Прежде чем давать определение ковариантного вектора, рассмотрим один пример. В векторном анализе нами был введен вектор grad ф, составляющими которого служат

d<f dvf дф

дх 1 Oy1 dz

Определим теперь для каждой системы координат х1, хг, . . . , хп совокупность п величин

dtp дф ¦ дф • IhF ' • ¦ ¦ '

где ер есть скалярная функция, и посмотрим, как преобразуются эти величины при преобразовании координат (10).

По правилам дифференцирования сложных функций мы имеем

дф _ _дф_ дх* дх*_ _дф^ дх^_ _ дф дхл ,„„.

д*і -+- ds* & "І" * * * + ь* - <«)

23 н. Е. Кочна 354

элямянты общвя теории тензоров

Гл. IV'

Бели мы положим

дф _ л _ д

1 _ - л л, 1 - Я«

эх* аг"

TO получим, что

i^-S- <24>

Этот закон преобразования отличен от закона преобразования (21); его мы и положим в основу определения ковариантного вектора.

Если для каждой системы координат х* определена совокупность п функций Aa и если при преобразовании координат (10) эти функции преобразуются по формулам (24), то величины Aa определяют ковари-антный вектор, составляющими или компонентами которого они являются.

Из вышесказанного ясно, что примером ковариантного вектора является

дф IhF

Является интересным выяснить, почему в обычной теории тензоров нам не пришлось различать ковариантные и контравариантные векторы. Составим формулы преобразования (24) для случая афиняых ортогональных векторов. Для этого постараемся из формул (16) выразить старые координаты xi, xt, хз через новые Xi', xt, хя . Но, вспоминая таблицу косинусов из п. 5 § 22, мы сразу можем написать, что

xi — auxi' + апай' + азіхз'

xt — aitxi' -)- аігхг + азгхз' (25)

as = aisxi' + ааажа' + a 332?'

Отсюда следует, что

«* =J^ (26)

Поэтому формулы (17) могут быть записаны в форме

04'= 2?^ (27)

»=1 4

не отличающейся от формул (24).

Это показывает, что в случае афинных ортогональных векторов формулы преобразования (21) и (24) являются тождественными и, следовательно, понятия контравариантного и ковариантного вектора являются совпадающими.

Скажем еще несколько слов относительно обозначений. Мы будем отличать контравариантные векторы от ковариантных тем, что будем ставить индексы у контравариантного вектора наверху, а у ковариантного внизу. Так как dx1 есть контравариантный вектор, то принято у координат Xі ставить индексы наверху. общее определение вектора и тензора

355'

8. Переходим к определению тензора - второго ранга. Принимая во-внимание формулы преобразования компонентов афинного ортогонального тензора [§ 22, формулы (14)] и формулы (18) и (26) и обобщая эти формулы надлежащим образом, мы приходим к следующим определениям:

Если для каждой системы координат х? определена совокупность пг функций Aa^, которые при преобразовании координат (10) испытывают преобразование

2* = А*М(28>

дха д

то эти функции определяют контравариантный тензор второго рангаг составляющими которого они являются.

Точно так же я2 составляющих Лдр ковариантнаго тензора второго ранга преобразуются по формулам

Наконец, составляющие смешанного тензора второго ранга преобразуются по формулам

Лі ~ х Iir ^ (30)

Очевидно, мы можем дать совершенно аналогичные определения тензоров третьего ранга, четвертого и т. д. Так, например, составляющие тензора Аїр, два раза ковариантного и один раз контравариантного, преобразуются по формулам

-tl дх" дяР дх

M-A^srw — (31)

Приведем в качестве примера один очень важный смешанный тензор второго ранга. Составляющими этого тензора в любой системе координат Являются числа

если Ct = ?

-+P (32)

-Г'

10,

Чтобы доказать, что действительно являются составляющими смешанного тензора, необходимо проверить, что выполняются формулы (30),' т. е. нужно показать, что

г* xfi дх" Sxk

= (33>

Возвратимся на минуту к обычаю писать знак суммы Тогда мы будем иметь

„и дхл _ Vrf dx<L

1 я?" — ZJ -TZT дх а=) ах

но в этой сумме все члены, которые отвечают значениям сс ф ?, пропа-

23» 356

элементы общей теории тензоров

Гл. IV

д ^

дают в силу (32), а при а = ? мы получаем —^r . Итак

Si

V J1U Эх* дз?

и, следовательно,

2" Vrf OxlxSSk А Эх*дх$ /0/.

Но согласно формулам (12) и (10) г* есть функция от гс1, з?.....ж",
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed