Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
дії" дх1 " " - ЗІ"
Sxi дх» дх*
дх1 Sx1 " - " дх"
(И)
Sca = Sa (х1, X2.....г") (а= 1, 2.....в)
(12) { 30 общее определение вектора и тензора
351
Полученное преобразование координат называется обратным по отношению к преобразованию координат (10).
В общей теории тензоров рассматриваются, как было упомянуто в п. 1, всевозможные координатные системы, связанные одна с другой формулами преобразования (10), в то время как при изучении афипных ортогональных тензоров нам достаточно было ограничиться рассмотрением линейных ортогональных преобразований координат (1) (аналогичные (1) формулы могут быть написаны и для пространства п измерений).
6. Дадим теперь общие определения скаляра, вектора и тензора.
Если для каждой системы координат х1, х2, . . . , х" определена функция / (а;1, іг2, . . . , хп), так что для системы координат я1, is3, . . . , Sn мы имеем свою функцию f S11 . . . , sn), и если нри преобразовании координат (10) значения этих функций в соответствующих точках совпадают, т. е. если
/ (я1, Z2_____ х") = 7 (Я1, я2, ... , Sn) (13)
то говорят, что функция точек f (as1, з?, '. . . , х") есть инвариант или скаляр. Примером скаляра является какое-либо постоянное число. Другим примером является основная квадратичная форма рима-нова пространства Rn:
п п
d^ = S S Sik U1, Ж2.....Xn) dx' dx* (14)
1-і *=i
так как в любой системе координат величина ds* должна сохранять одно и то же значение. Наконец, в качестве третьего примера укажем, что если ограничиться афинными ортогональными преобразованиями (1), то выражение
f = X1* + Х22 + XS3 (15)
будет скаляром, так как по самому определению ортогональных преобразований должно иметь место равенство
Xi'3 + Xi'3 -ь їа'2 = Ж12 + х2* 4- Ia2
Поэтому функцию (15) можно назвать афинным ортогональным инвариантом, но эта функция не будет инвариантом в данном нами выше смысле (13), ибо для случая любых преобразований (1') окажется, вообще говоря, что
+ жг'г + за'2 ф Xi3 + х*г + Jras .
7. Переходим теперь к определению вектора. Согласно определению афинного ортогонального вектора, данного в § 22, составляющие этого вектора преобразуются при ортогональном преобразовании координат (1)
V = «11*1 + ^12? + <*1S*S
X2' = OC41JS1 -ь XtsX2 •+- Ot2aX3 (U)) 352
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
по формулам
at' = алеї + аізаг + at заз
аз' == агіаі -+- <шаг + ctasas (17)
as' = азіаі + азгаз -H asses
где ei, ва, ва — составляющие вектора по осям Oxixsx», а й>', аз', аз' — составляющие того же вектора по осям Oxi хъ хз'.
Чтобы обобщить это определение, заметим, что коэффициенты я1к преобразования (16) можно представить следующим образом:
^* = "?" (i', a = i, 2,3) (18)
и поэтому формулы (17) можно записать в следующей форме
Oif = S-^ra* (1 = 1.2,3) <19)
*=1 *
Обобщая эти равенства, можно дать следующее определение: Если для каждой системы координат ж1, з?, ...,Xn определена совокупность п функций A1, /Ia1 ..., An, так что для системы координат
¦j}, аг®, . . . , хп мы имеем сваю совокупность функций А1, А2, .... А", и если при преобразовании координат (10) эти функции преобразуются по следующим формулам преобразования
= 2 ХТ («-і.....-) (20)
то мы будем говорить, что совокупность величин А', . . . , An определяет
контравариантный вектор, и будем называть величины At составляющими или компонентами контравариантного вектора А'.
Так как в дальнейшем постоянно придется употреблять суммы, подобные тем, которые стоят в правой части равенства (20), то условимся, как это принято в литературе, опускать в этих случаях знак суммы, мысленпо его подразумевая.
Таким образом, мы условимся всякий раз, как нам встретится одночлен, в выражении которого фигурирует два раза один и тот же индекс, производить по атому индексу суммирование по всем значениям этого индекса от 1 до п (если только не сделано специальной оговорки).
При этом условии формула (20) может быть записана в следующей форме:
Ai =^LAcl (21)
дхЛ
причем здесь, как и в дальнейшем, мы уже не указываем, что мы имеем в сущности п формул, соответствующих значениям индекса і = 1,2, . . .,п.
Наиболее важным примером контравариантного вектора является вектор dx\ составляющими которого являются дифференциалы координат. { 30 общее определение вектора и тензора
353
6 самом деле, из формул (12) по правилу составления дифференциала сложной функции сразу следует, что
OZi = ^dX*+^da* + ...+^dx" =J^dar (22)
так что dx' подчиняются формулам преобразования (21), а следовательно, являются составляющими контравариантного вектора.
Может быть, полезно отметить, что в силу чрезвычайной общности приведенного выше определения контравариантного вектора несколько ускользает физическая сущность этого понятия. Так, например, рассматривая движение точки в нашем трехмерном эвклидовом 'пространстве, возьмем за Xі, ж2, з? прямолинейные прямоугольные координаты, а за ж1, ж2, ж3 — хотя бы сферические координаты г, 0, tp, Тогда
