Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда видно, что метрика подпространства Rn не вполне характеризует это подпространство; оказывается, однако, что метрика характеризует одни из самых глубоких свойств подпространств Rn.
4. Риман поставил задачу обратно; он исходил из многообразия л измерений, т. е. совокупности точек, каждая из которых определяется л координатами q\, да, . . . , qn, меняющимися в некоторой области, причем точки, соответствующие различным системам значений Q1, ... , q„, считаются различными.
Затем Риман по произволу задавал функции gik (qi, qt, . . . , qn) с тем лишь условием, чтобы квадратичная форма в правой части формулы (9) была определенной положительной формой, т. е. принимала лишь положительные значения при любых dqx, dq2, . . . , dqn, не равных нулю одновременно.
Наконец, Риман определял расстояние между двумя бесконечно близкими точками исходного многообразия, имеющими координаты ^1, ,qn, и дЛ 4- dqt, ga 4- dqz, dqn, формулой (9), в которой gik удовлетворяют условию (8) 1.
Многообразие п измерений, в котором формулой (9) установлена метрика, т. е. задано расстояние между двумя любыми бесконечно-близкими точками, называется пространством Римана и обозначается обыкновенно через Hn.
Совершенно естественно возникает вопрос о том, нельзя ли всякое риманово пространство Rn рассматривать как подпространство в эвклидовом т-мер ном пространстве Em, где да п. Из предыдущего изложения ясно, что этот вопрос эквивалентен следующему: нельзя ли найти число т и такие функции xi (ft, • . . , g„), . . . , хт (?1, . . . , qn), чтобы выполнились равенства (7), где gik суть заданные функций от gi, 52, ..., qn удовлетворяющие условиям (8).
Но легко подсчитать, что (7) есть система ~п (п Ч- 1) уравнений (п уравнений получается при і ~ k a п (п — 1) ураинений при і < к, уравнения при і > A в силу условия (8) рассматривать не надо); число же неизвестных функций равно т.
Можно поэтому ожидать, что уравнения (7) можно решить при т = = (n + 1), а в частных случаях и при т < ~-п (п + 1). Как говорят, риманово пространство п измерений может быть вложено в эвклидово пространство -|-п(и-}-1) измерений; так, например, риманово пространство двух измерений всегда может быть вложено в наше эвклидово трехмерное пространство, иными словами, всегда можно подыскать такую поверхность, для которой ds® представляется наперед заданной определенной положительной квадратичной формой (3); точно так же риманово пространство трех измерений может быть вложено в эвклидово пространство = 6 измерений и т. д.
1 См. обзор проф. В. Ф. К а г а а а, Геометрические идея Романа и их современное развитие. ГТТИ, 1933 Там же подробная литература. 350
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
Иногда, как, например, в теории относительности, приходится рассматривать и те случаи, когда правая часть формулы (9) является неопределенной квадратичной формой, т. е. может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Во всяком случае стоящая в правой части формулы (9) квадратичная форма будет в дальнейшем играть колоссальную роль; поэтому эта форма называется основной, или фундаментальной, формой.
Но на первых порах изложения тензорного исчисления квадратичная форма (9) нам не понадобится. Точнее говоря, можно дать определение тензора и построить тензорную алгебру, совершенно вне зависимости от того, определена ли метрика пространства или нет, и только при построении тензорного анализа метрика начинает себя проявлять.
Поэтому в основу наших первоначальных рассуждений мы положим самое общее многообразие п измерений, координаты точек которого обозначим в соответствии с установившимся обычаем череа х1, Xs, . . . , х" (вместо g,, q2, . . . , <?„, так что значки 1, 2, . . . , п являются не показателями, а индексами; мы скоро увидим, почему удобнее эти индексы ставить наверху, а нэ внизу).
5. Итак, рассмотрим многообразие п измерений Vni понимая под ним совокупность всех его точек, под точкой же многообразия мы понимаем совокупность значений п независимых переменных Xі, ж2, ... , хя, сами же числа х}, х*, ... , х" будем называть координатами точки.
Вместо координат х1, хг, . . . , ас" можно ввести новые координаты J1, аг2, . . . , ж", связанные со старыми некоторыми соотношениями
В этом случае мы будем говорить, что формулы (10) определяют преобразование координат. Про функции, стоящие в правой части формул (10), мы будем предполагать, что в рассматриваемой области изменения координат S1, . . . , Sn зти функции однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные всех тех порядков, какие нам в дальнейшем понадобятся. Вообще все функции, с которыми мы будем иметь дело, будем считать удовлетворяющими этим условиям. В рассматриваемом же случае мы потребуем, сверх того, чтобы якобиан
дх* дх" дхп дх1 дх1 - ' ' їй"
был отличным от нуля. Как известно, в этом случае можно решить уравнения (10) относительно Я1, S2, ... , Xn:
Xa= Xfi (Я1, Xі, ... , ?п) (а = 1, 2.....п)
(10)
D (х1, Xі, ... .хп) D (х1, 2а.....Xа)
дх1 дх1 дх*
