Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
В том же § 18 мы видели, что положение точки на поверхности, расположенной в пространстве, можно определять двумя координатами
и цъ и что в этом случае расстояние ds между двумя бесконечно близкими точками, у одной из которых координатами являются qi и q2, а другой tJi + dq, и <з>2 4- dq2, определяется формулой
ds2 = gu (?, q.) dq4- 2gl2 (qx, qt) dq1 dq2 4 g22 (qu q2) dq* (3)
Так как положение точки в пространстве определяется тремя координатами q\, qz, qa, то говорят, что пространство есть многообразие трех измерений; поверхность же есть многообразие двух измерений, так как положение точки на ней определяется двумя координатами q\ и Q2. Если мы рассмотрим какую-нибудь линию в пространстве, то она будет многообразием первого измерения, так как положение точки на заданной линии может быть определено одним параметром. Однако во многих случаях оказывается невозможным, ограничиваться рассмотрением многообразий { 30 общее определение вектора и тензора
347
трех измерений; так, например, в теории относительности приходится рассматривать пространство четырех измерений. В связи с этим необходимо обобщить введенные нами понятия.
В нашем трехмерном пространстве, вводя прямолинейную прямоугольную систему координат Ox1 Xt X3, мы можем определить положение каждой точки M ее декартовыми координатами X1, хг, хз¦ Если другая точка N имеет декартовы координаты уг, yt, у3, то расстояние между этими двумя точками MvN определяется по теореме Пифагора:
MNt = (у, - X1)* + (у, ~ хгУ + ^2 - X3Y
Совершенно аналогично этому можно определить m-мерное эвклидовое пространство Em, в котором положение каждой точки M задается ее декартовыми координатами X1, хг, ..., Xm относительно прямолинейной прямоугольной системы координат Oac1 хг . . . хт, причем, если другая точка N имеет декартовы координаты ух, yt, ... , ут, то расстояние между точками M и JV определяется по формуле
MN* = (у, - X1)2 + {уг - хгГ + . . . + (ут - хт)"
Если N есть точка, бесконечно близкая к М, и ее координаты суть X1 +- dxlt Xt + dxt, . . . , хт -f dxm о расстояние ds между точками M и N дается формулой
ds1 = dx-t* + dx22 + . . . + dxm2 (4)
Но положение точки M может быть определено в ш-мерном эвклидовом пространстве Em и криволинейными координатами д1г qt, . . . , qm'. тогда, аналогично формуле (2), для расстояния между двумя бесконечно близкими точками получим формулу вида
Dt П
^ = SS SiH (h. qt, ... , qm) dqt dqh (5)
i'=i it—i
в которой можно считать, что gifi = gkl.
3. Подобно тому как в пространстве трех измерений мы рассматриваем поверхности и линии, так в пространстве т измерений мы можем рассматривать подпространства меньшего числа измерений. Допустим, что мы рассматриваем подпространство Rn, имеющее п измерений. Для определения точек этого подпространства можно воспользоваться какими-то криволинейными координатами, которые мы опять . обозначим через qt, qs, ... , qn, аналогично тому, как в формуле (3) параметры, определяющие точку на поверхности, были обозначены через и <?2. Ясно, что декартовы координаты точек подпространства Rn будут определенными функциями от qlt qt, . . . , qn:
X1 = X1 (q-t, qt.....qn)
............. (6)
= Яг.....?n) 348
ЭЛяМяНТЫ ОБЩвя ТЕОРИи ТЕНЗОРОВ
Гл. IV'
Расстояние между двумя бесконечно близкими точками подпространства Rn будет определяться по формуле (4), в которой вместо Xu нужно подставить их выражения через криволинейные координаты q2, . .., qn.
Но очевидно, мы имеем
дх дх дх .Д дхх
dx«= Widqi + Wtdq2 + ¦ • ¦ S^dqi (а = 1. 2.....*)
із 2
i=l " t=l і= IJt=I ч% чл
Поэтому
m mnnAA1. п п , тп , „ .
= S ^ = 2 S S S 2(2?? d^
а=1 WM 41 Ч" 1=1((=1 1X=L 4' 4V
Введем теперь обозначение
Sm дх дх
WWk = ^1' 5а.....(г* k^i'2.....л> ^
A=I
Причем, очевидно,
gik = gkt (8)
Тогда окажется, что
п п
^S2= 2 2 92, ... , g„) (9)
При п = т отсюда, как частный случай, получается формула (5), в этом частном случае пространство Rm совпадает с Eml и только положение точки в этом пространстве определяется не декартовыми координатами XI, хз, . . , , хт, а криволинейными координатами qlt q2, . ¦ . , qm.
Итак, если в эвклидовом лг-мерном пространстве рассматривается тдпространство п измерений Rn, определенное формулами (6), в которых ii, . . . , Xm суть непрерывные вместе со своими первыми частными производными функции, обладающие тем свойством, что в рассматриваемой области изменения координат ^1, q3, ... , qn различным системам значений qlt q2, . . . , qn отвечают различные точки пространства Em, то квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками подпространства Rn определяется формулой (9), как квадратичная форма от дифференциалов координат. Говорят, что формула (9) устанавливает метрику подпространства Rn. Полезно сразу же отметить, что в некоторых случаях метрика двух различных подпространств может оказаться совершенно одинаковой; так, например, в нашем трехмерном пространстве метрика какой-либо цилиндрической поверхности не отличается от метрики плоскости. { 30 ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА И ТЕНЗОРА 349
