Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Относя эту работу к единице объема н произведя аналогичное вычисление для удлинений ег a Bs1 мы приходим к выводу, что функция A (bi, &2, eg) обладает тем свойством, что
б А = «zdsi -Ь ?2082 + озЬг я (35)
Но из уравнений (28) ясно, что
а„ = + X (в, + es + еа) <* = 1.2,3) (36)
Подставляя это в предыдущее выражение и интегрируя, мы получим искомое выражение для работы деформации, приходящейся на единицу объема:
A = ji(e»8 + 822 + ез2) 4- -J- (ei + 8ї + Es)2 (37)
Выражение, стоящее справа, должно являться инвариантом тензора Ф; и действительно, сравнивая его с формулами (14) и (15) § 27, мы легко найдем, что
А = Шї- Z,2 (Ф) - 2р/* (Ф) (38)
Из формулы же (38) по тем же формулам (14) § 27 мы в состоянии вычислить энергию деформации в любой системе координат:
А - (фи + ф22 + фза)* _
— 2|Х (ФпФїї +- ФааФаз + ФззФи — Ф12Ф21 - ФізФзі — ФззФзг) (39)
Укажем, что энергия деформации очень просто выражается, если ее выражать частью через тензор напряжений, частью через тензор деформаций; а именно, легко проверить на основании формул (36) и (37), что
А — -|-(0іЄі + O2E2 + Qats) (40)
Сравнивая это выражение с (19) § 27, видим что
А = |ф.-П (41)
и так как последнее выражение есть инвариант, то мы можем им воспользоваться для вычисления энергии деформации в любой координатной системе; по той же формуле (19) § 27
з з
4 = Ф*Г Pr, (42)
к= і r=i ГЛАВА IV ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ТЕНЗОРОВ
§ 30. Общее определение вектора и тензора
1. В настоящей главе мы займемся изложением основ общей теории тензорного исчисления. Тензорное исчисление, являясь необходимым орудием исследования в таких дисциплинах, как дифференциальная геометрия и теория относительности, крайне полезно и само по себе, так как оно дает возможность более глубоко проникнуть в сущность тех понятий а связей, с которыми мы ознакомились в предыдущих главах при иауче нии афинных ортогональных векторов и тензоров.
Основную идею тензорного исчисления можно охарактеризовать следующим образом.
В аналитической геометрии в основание рассуждений всегда кладется определенная координатная система. При построении векторного исчисления стараются координатную систему уничтожить совсем, сопоставляя каждому вектору направленный отрезок в пространстве, что дает возможность определить различные операции с векторами чисто геометрическим образом; точно так же симметричному тензору можно сопоставить центральную поверхность второго порядка; однако, при изучении более сложных объектов мы уже теряем возможность простого наглядного представления их; так, например, у нас нет простого наглядного представления для несимметричного афішного ортогонального тензора. Поэтому мы опять вводим в рассмотрение координатные системы; так, например, в § 22 нами было дано определение афи иного ортогонального тензора второго ранга как таблицы девяти величин, преобразующихся по определенным формулам преобразования при переходе от одной прямолинейной прямоугольной системы координат Ox1 Xi х3 к другой Oxi' Xi хз'¦ При этом новые координаты X1', Xt', X3' связаны со старыми XI, X3, х3 формулами
хг = ап хл
<*12 хі ®13 х3 X2 — Ot2I Qt22 -? -Ъ &2з xS
X3 — (X3I Xi Ct3Q х% -Ь (X33 X3
Преобразование координат, выражаемое формулами (1), является линейным — такие преобразования называются еще а ф и н н ы м и; более того, так как это преобразование соответствует переходу от одной 346
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
прямолинейной системы координат к другой такой же системе координат, оно называется ортогональным преобразованием. В соответствии с тем, что нами рассматривались до сих пор только афин-ные ортогональные преобразования координат, мы и называли векторы и тензоры афинными ортогональными векторами и тензорами. Однако между только что указанным подходом к определению тензора и методом аналитической геометрии имеется коренная разница, состоящая в том, что при определении тензора ни одной из координатных систем не оказывается ни малейшего предпочтения; составляющие тензора определяются сразу для всех систем координат, причем эти составляющие при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по определенным формулам преобразования. Эта же самая идея является основной идеей общего тензорного исчисления с тем лишь весьма существенным дополнением, что в последнем не ограничиваются линейными преобразованиями координат вида (1), а рассматривают самые общие преобразования координат вида
— A X2, S3), Xt' = /2 (ж,, Xss, 3?), xs' = f3(xu X3, X2) (l')
Мы остановимся на этом вопросе несколько подробнее.
2. В § 18 мы видели, что положение точки в пространстве можно определять вместо декартовых координат тремя криволинейными координатами дг, q2, q3. При этом в случае, если эти криволинейные координаты являются ортогональными, расстояние ds между двумя бесконечно близкими точками определяется формулой
ds2 = Я,2 (д„ q.z, q3) dg,3 + HJ (qt, q2, q3) dq22 4- H32 (qu q2, q3) dq32 (2)
При различном выборе криволинейных координат qi, q-i, qa, функции H і (<?i> <?2. <73), H2 (<?!, ?2, q2) и H3 q2, q3) будут иметь различное значение, но правая часть формулы (2) будет сохранять постоянное значение, так как оно равно квадрату расстояния между двумя бесконечно близкими точками.
